You are given twelve identical-looking balls and a two-sided scale. One of the balls is of a different weight, although you don't know whether it's lighter or heavier. How can you use just three weighings of the scale to determine not only what the different ball is, but also whether it's lighter or heavier?
This is a classic brain-teaser puzzle (first appearing in 1945), meant to be solved with paper and pencil. But I want to solve not just this specific puzzle, but related puzzles where you can vary (a) the number of balls, (b) the number of weighings allowed, and (c) whether the odd ball might be heavier, lighter, or either, or neither. So I'll need a computer program, not a pencil. (I originally wrote this program in 2012, but am republishing it here in revised form because the puzzle was mentioned in the 538 Riddler for 16 August 2019. It also appeared in a Numberplay column in 2014 (with coins instead of balls) among other venues.)
Here are the concepts I'm dealing with:
[1, 2, 3] for N = 3.I'll represent the situation where ball N is heavier as +N, and where ball N is lighter as -N. With N = 3, the set of all possible oddballs is {+1, -1, +2, -2, +3, -3}. (As an extension that is not needed for the stated puzzle but is useful for similar puzzles: I'll represent the situation where all the balls weigh the same—no ball is odd—with 0.)
Puzzle(N=12, weighings=3). A puzzle is defined by the balls involved, the number of weighings allowed, and the possible oddballs. (I'll add a few complications later.)weigh(L, R, oddball), which returns a string, 'gt', 'eq', or 'lt'.Tree(L, R, gt, eq, lt) is a node where L and R are the collections of balls to be weighed, and gt, eq, and lt are branches for subtrees corresponding to the three possible results of the weighing. (I'll also use None to mean "could not find a valid tree.")follow(tree, oddball) to say follow the path through the tree, doing each weighing under the assumption of the given oddball, and return the leaf node reached by the path—the oddball that the tree predicts. Note that the function follow gets to see what the oddball is, but the tree never gets direct access to that; the tree has to figure it out by doing weighings.valid(tree, puzzle) for this.Note: I have an idea for the definition of the Puzzle class: by default, the oddballs are all the "lighter" and "heavier" versions of the puzzle's balls. But if you want a different kind of puzzle, I'll allow two options: you can specify the keyword argument oddballs= and give a set of oddballs; whatever you want. Or you can specify the keyword argument oddities, whose value can be any subset of {-1, 0, +1}, where -1 means "any one ball might be lighter," +1 means "any one ball might be heavier," and 0 means "it might be that no ball is odd; they all weigh the same."
Let's start implementing the concepts:
from collections import namedtuple
import random
#### Types
Ball = Oddball = int
class Puzzle:
"Represent a specific ball-weighing puzzle."
def __init__(self, N=12, weighings=3, oddities={-1, +1}, oddballs=None):
# If `oddballs` is None, compute them via `oddities`.
self.balls = list(range(1, N + 1))
self.weighings = weighings
self.oddballs = (oddballs if oddballs is not None else
{b * o for b in self.balls for o in oddities})
Tree = namedtuple('Tree', 'L, R, gt, eq, lt')
#### Functions
def weigh(L, R, oddball) -> str:
"Weigh balls L against balls R, given the oddball; return 'gt', 'eq', or 'lt'."
diff = sum(weight(b, oddball) for b in L) - sum(weight(b, oddball) for b in R)
return ('gt' if diff > 0 else
'lt' if diff < 0 else
'eq')
def weight(ball, oddball) -> int:
"How heavy is this ball (given that we know what the oddball is)?"
return 101 if +ball == oddball else 99 if -ball == oddball else 100
def solve(puzzle) -> Tree or None:
"Return a valid tree (one that solves the puzzle), or None."
tree = find_tree(puzzle, puzzle.oddballs, puzzle.weighings)
return tree if valid(tree, puzzle) else None
def follow(tree, oddball) -> Oddball:
"Follow a path through the tree and return the oddball that the tree leads us to."
if is_leaf(tree):
return tree
else:
branch = weigh(tree.L, tree.R, oddball)
return follow(getattr(tree, branch), oddball)
def valid(tree, puzzle) -> bool:
"Does the strategy tree solve the puzzle correctly for all possible oddballs?"
return (tree is not None and
depth(tree) <= puzzle.weighings and
all(follow(tree, oddball) == oddball
for oddball in puzzle.oddballs))
def depth(tree) -> int:
"Maximum depth (number of weighings) in tree."
return (0 if is_leaf(tree) or tree is None
else 1 + max(depth(tree.gt), depth(tree.eq), depth(tree.lt)))
def is_leaf(node): return isinstance(node, Oddball)
Let's try out some of these functions:
p8 = Puzzle(8)
p8.weighings, p8.balls, p8.oddballs
(3,
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8],
{-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8})
# If we weigh balls 1, 2 against 3, 4, and the oddball is that 5 is lighter, the result should be 'eq'
weigh([1, 2], [3, 4], -5)
'eq'
weight(1, oddball=-5)
100
weight(5, oddball=-5)
99
is_leaf(-3)
True
is_leaf(Tree([1], [2], +1, +3, +2))
False
Now we've got all the pieces we need to find a valid tree to solve a puzzle. The key concept is that a weighing gives us information by making a partition of the possible oddballs into branches for each of the three possible weighing results: gt, eq, or lt. If each of the partitions is small enough, subsequent weighings can handle each of them. Here's what I mean by a partition:
def partition(L, R, oddballs) -> dict:
"Build a dict that partitions the possible outcomes (oddballs) resulting from weighing L versus R."
part = dict(gt=set(), eq=set(), lt=set())
for odd in oddballs:
part[weigh(L, R, odd)].add(odd)
return part
For example, with 12 balls, if we weigh balls 1 and 2 on the left versus 11 and 12 on the right, then there are 4 ways the left side can be greater than the right: either 11 or 12 is lighter or 1 or 2 is heavier. Similarly there are 4 ways of getting a lt weighing result. The remaining 16 possibilities—balls 3 through 10 being either heavier or lighter—show up in the eq branch of the partition:
p12 = Puzzle(12, 3)
partition([1, 2], [11, 12], p12.oddballs)
{'gt': {-12, -11, 1, 2},
'eq': {-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
'lt': {-2, -1, 11, 12}}
If this was the first weighing in our strategy tree, could we go on to solve the puzzle in 3 weighings? No! With two remaining weighings we can handle at most 3 × 3 = 9 possibilities; here we have 16 possibilities in the eq branch, which is too many. We call this a bad partition.
The following is a good partition because each of the branches has 8 possibilities, and 8 is less than 9.
partition([1, 2, 3, 4], [9, 10, 11, 12], p12.oddballs)
{'gt': {-12, -11, -10, -9, 1, 2, 3, 4},
'eq': {-8, -7, -6, -5, 5, 6, 7, 8},
'lt': {-4, -3, -2, -1, 9, 10, 11, 12}}
(Note: being a good partition does not guarantee that the puzzle is solvable from there; but being a bad partition guarantees that it is not solvable. Also note that this is a good partition with 2 remaining weighings, but would be a bad partition with only one remaining weighing.)
So now we have a viable approach to implementing find_tree:
find_tree(puzzle, oddballs, weighings). At the top level, the oddballs and number of weighings come from the puzzle. At recursive levels, we will reduce the number of oddball possibilities according to the partition, and the number of remaining weighings by 1 each time.None) for each of the three branches. If we can find that, return the tree as a solution.None to indicate failure.The rest of the work is done by good_partitions:
L and R, both of length B.B. (All values from 1 up to 1/3 the number of balls, rounded up.)L and R gives us.(L, R, partition) tuple.good_partitions.)def find_tree(puzzle, oddballs, weighings) -> Tree or Oddball or None:
"Find a strategy tree that covers all the oddballs in the given number of weighings."
if len(oddballs) == 1:
return next(iter(oddballs)) # One possibility left; we're done; leaf node
elif len(oddballs) == 0:
return 0 # No oddball
elif weighings == 0:
return None # No solution within allowable weighings; fail
else:
for L, R, part in good_partitions(puzzle, oddballs, weighings - 1):
subtrees = {r: find_tree(puzzle, part[r], weighings - 1) for r in part}
if None not in subtrees.values():
return Tree(L, R, **subtrees)
def good_partitions(puzzle, oddballs, weighings, tries=100):
"Yield random (L, R, partition) tuples with no partition branch longer than 3**weighings."
balls = list(puzzle.balls)
for _ in range(tries):
for B in range(1, (len(balls) + 2) // 3 + 1):
random.shuffle(balls)
L, R = balls[:B], balls[-B:]
part = partition(L, R, oddballs)
longest = max(part.values(), key=len)
if len(longest) <= 3 ** weighings:
yield L, R, part
Here we see that good_partitions does its job:
next(good_partitions(p12, p12.oddballs, 2))
([12, 2, 8, 5],
[3, 4, 7, 9],
{'gt': {-9, -7, -4, -3, 2, 5, 8, 12},
'eq': {-11, -10, -6, -1, 1, 6, 10, 11},
'lt': {-12, -8, -5, -2, 3, 4, 7, 9}})
Now we're ready to solve puzzles!
solve(p12)
Tree(L=[4, 12, 9, 7], R=[10, 8, 1, 3], gt=Tree(L=[6, 12, 11, 3], R=[8, 5, 1, 7], gt=Tree(L=[3, 8, 12], R=[6, 5, 4], gt=12, eq=-1, lt=-8), eq=Tree(L=[12, 7, 1], R=[9, 10, 3], gt=-10, eq=4, lt=9), lt=Tree(L=[5, 4, 10], R=[7, 2, 9], gt=0, eq=-3, lt=7)), eq=Tree(L=[9, 5, 1, 11], R=[10, 3, 8, 6], gt=Tree(L=[6, 3, 11], R=[12, 1, 7], gt=11, eq=5, lt=-6), eq=Tree(L=[5], R=[2], gt=-2, eq=0, lt=2), lt=Tree(L=[9, 5, 4], R=[3, 11, 7], gt=-11, eq=6, lt=-5)), lt=Tree(L=[2, 5, 3, 6], R=[1, 9, 4, 8], gt=Tree(L=[8, 10, 9, 11], R=[6, 12, 2, 4], gt=-4, eq=3, lt=-9), eq=Tree(L=[2, 12], R=[7, 8], gt=-7, eq=10, lt=-12), lt=Tree(L=[8, 11], R=[2, 4], gt=8, eq=1, lt=0)))
OK, that's hard to read—my bad. Let's look at a much easier puzzle: 3 balls, 1 weighing allowed, and the odd ball can only be lighter:
tree = solve(Puzzle(3, 1, {-1}))
tree
Tree(L=[1], R=[2], gt=-2, eq=-3, lt=-1)
This tree says you weigh one ball against another (leaving the third unweighed), and the three possible weighing results tell you which of the three balls is lighter.
Let's make the output easier to read. I'll use [1·2·3·4]⚖[9·10·11·12] ➔ to mean "Weigh balls 1,2,3,4 versus 9,10,11,12 to get a result...". I'll indent each interior node in the tree, and I'll use >: to mean the result when the left hand side is greater than the right in weight is...
def do(puzzle):
"Print the solution to the puzzle as indented text."
print(indented(solve(puzzle)))
def indented(tree, i=0, prefix='') -> str:
"Pretty, indented string representing a strategy tree."
if tree == 0 or tree == None:
return f'{prefix}{tree}'
elif is_leaf(tree):
return f'{prefix}{tree:+d}'
else:
subtrees = (indented(tree.gt, i+1, '>:'), indented(tree.eq, i+1, '=:'), indented(tree.lt, i+1, '<:'))
indent = ('' if i == 0 else ('\n' + ' ' * 5 * i))
return f'{indent}{prefix}{side(tree.L)}⚖{side(tree.R)} ➔ {" ".join(subtrees)})'
def side(balls) -> str: return str(sorted(balls)).replace(', ', '·')
Also, note that at the root node of a tree, there's no sense randomly shuffling the balls—the only choice that matters is how many balls, B, to put on each side. Putting 1·2·3·4 on the left is no different than 3·7·9·12, because each ball is undifferentiated at the start. I'll alter good_partitions to do this.
def good_partitions(puzzle, oddballs, weighings, tries=100):
"Yield random (L, R, partition) tuples with no partition branch longer than 3**weighings."
at_root = (oddballs == puzzle.oddballs)
balls = sorted(puzzle.balls)
for _ in range(1 if at_root else tries):
for B in range(1, (len(balls) + 2) // 3 + 1):
if not at_root: random.shuffle(balls)
L, R = balls[:B], balls[-B:]
part = partition(L, R, oddballs)
longest = max(part.values(), key=len)
if len(longest) <= 3 ** weighings:
yield L, R, part
# 3 balls, 1 weighing, only lighter balls possible
do(Puzzle(3, 1, {-1}))
[1]⚖[3] ➔ >:-3 =:-2 <:-1)
# 3 balls, 2 weighings, lighter or heavier balls possible
do(Puzzle(3, 2))
[1]⚖[3] ➔
>:[1]⚖[2] ➔ >:+1 =:-3 <:0)
=:[3]⚖[2] ➔ >:-2 =:0 <:+2)
<:[1]⚖[2] ➔ >:0 =:+3 <:-1))
# The original puzzle with 12 balls, 3 weighings
do(p12)
[1·2·3·4]⚖[9·10·11·12] ➔
>:[4·7·9·12]⚖[5·8·10·11] ➔
>:[4·8·10]⚖[1·3·7] ➔ >:+4 =:-11 <:-10)
=:[3·4·9·10]⚖[1·5·11·12] ➔ >:+3 =:+2 <:+1)
<:[6]⚖[12] ➔ >:-12 =:-9 <:0))
=:[5·6·8·12]⚖[3·4·9·11] ➔
>:[8]⚖[6] ➔ >:+8 =:+5 <:+6)
=:[8·9·12]⚖[3·6·7] ➔ >:-7 =:0 <:+7)
<:[1·3·5]⚖[6·9·11] ➔ >:-6 =:-8 <:-5))
<:[3·4·12]⚖[1·2·10] ➔
>:[1·10·11]⚖[2·4·8] ➔ >:-2 =:+12 <:-1)
=:[1·3]⚖[7·9] ➔ >:0 =:+11 <:+9)
<:[4·5·8·9]⚖[3·6·11·12] ➔ >:-3 =:+10 <:-4)))
# A different solution to the same puzzle
do(p12)
[1·2·3·4]⚖[9·10·11·12] ➔
>:[1·9·11]⚖[3·10·12] ➔
>:[1·10]⚖[5·8] ➔ >:+1 =:-12 <:-10)
=:[2·10]⚖[3·12] ➔ >:+2 =:+4 <:0)
<:[2·6·10·11]⚖[1·7·9·12] ➔ >:-9 =:+3 <:-11))
=:[2·7·9·12]⚖[3·4·5·6] ➔
>:[1·5·10]⚖[2·6·11] ➔ >:-6 =:+7 <:-5)
=:[1·2·10]⚖[5·8·12] ➔ >:-8 =:0 <:+8)
<:[6·12]⚖[5·11] ➔ >:+6 =:-7 <:+5))
<:[3·4·8·11]⚖[1·5·7·10] ➔
>:[10·12]⚖[1·3] ➔ >:-1 =:+11 <:0)
=:[8·10·12]⚖[3·6·9] ➔ >:+12 =:-2 <:+9)
<:[4·10]⚖[1·12] ➔ >:+10 =:-3 <:-4)))
I note that the traditional answer to the puzzle weighs 4 balls on each side of the first weighing, three balls on the second weighing, and 2 balls on the third weighing. But my program is not so orderly. It always weighs 4 balls on the first weighing, but from there it can vary; it has no inclination to minimize the number of balls on each side of the scale, or to make one branch of the tree be similar to another branch.
We can do 12 balls in 3 weighings even when we add in the possibility that all the balls weigh the same (we use 0 to denote this situation):
do(Puzzle(12, 3, {-1, 0, +1}))
[1·2·3·4]⚖[9·10·11·12] ➔
>:[4·6·9·11]⚖[2·5·7·12] ➔
>:[3·4]⚖[7·8] ➔ >:+4 =:-12 <:0)
=:[3·9]⚖[1·4] ➔ >:+3 =:-10 <:+1)
<:[7·11·12]⚖[4·6·9] ➔ >:-9 =:+2 <:-11))
=:[2·6·8]⚖[7·9·10] ➔
>:[1·4·5·11]⚖[6·7·10·12] ➔ >:-7 =:+8 <:+6)
=:[5·7·9·12]⚖[1·4·6·8] ➔ >:+5 =:0 <:-5)
<:[2·3·11·12]⚖[4·7·8·10] ➔ >:-8 =:-6 <:+7))
<:[4·5·9]⚖[1·3·10] ➔
>:[1·7]⚖[3·8] ➔ >:-3 =:+9 <:-1)
=:[2·5·12]⚖[6·7·9] ➔ >:+12 =:+11 <:-2)
<:[2·3·4·5]⚖[6·8·11·12] ➔ >:0 =:+10 <:-4)))
Can we solve the 13-balls in 3 weighings puzzle, which has 26 possibilities? After all, 26 is less than 33.
do(Puzzle(13))
None
No, and the reason is that there is no first weighing that partitions the 26 possibilities into 9/9/8; the best we can do is partition into 8/10/8 or 10/6/10, and 10 possibilities can't be distinguished in the remaining two weighings:
partition([1, 2, 3, 4], [10, 11, 12, 13], Puzzle(13).oddballs)
{'gt': {-13, -12, -11, -10, 1, 2, 3, 4},
'eq': {-9, -8, -7, -6, -5, 5, 6, 7, 8, 9},
'lt': {-4, -3, -2, -1, 10, 11, 12, 13}}
partition([1, 2, 3, 4, 5], [9, 10, 11, 12, 13], Puzzle(13).oddballs)
{'gt': {-13, -12, -11, -10, -9, 1, 2, 3, 4, 5},
'eq': {-8, -7, -6, 6, 7, 8},
'lt': {-5, -4, -3, -2, -1, 9, 10, 11, 12, 13}}
We can do 27 balls in 3 weighings if we know that the odd ball can only be lighter, not heavier:
do(Puzzle(27, 3, {-1}))
[1·2·3·4·5·6·7·8·9]⚖[19·20·21·22·23·24·25·26·27] ➔
>:[9·10·13·20·21·22]⚖[7·11·15·23·24·27] ➔
>:[2·4·7·8·12·14·17·23]⚖[3·6·11·13·18·19·21·24] ➔ >:-24 =:-27 <:-23)
=:[1·6·10·13·19·22·23]⚖[3·9·12·18·21·26·27] ➔ >:-26 =:-25 <:-19)
<:[4·5·6·13·14·18·19·20·25]⚖[2·7·9·12·15·17·21·24·26] ➔ >:-21 =:-22 <:-20))
=:[3·7·8·12·13·18·19·21·25]⚖[1·4·5·6·10·16·17·22·24] ➔
>:[3·4·10·26]⚖[8·16·19·20] ➔ >:-16 =:-17 <:-10)
=:[3·11]⚖[14·24] ➔ >:-14 =:-15 <:-11)
<:[1·4·6·16·17·18]⚖[3·5·12·24·26·27] ➔ >:-12 =:-13 <:-18))
<:[3·6·8·10·12·17·19·21·25]⚖[1·2·5·13·14·16·22·23·24] ➔
>:[1·3·14·15·16·25·27]⚖[2·6·7·19·22·23·24] ➔ >:-2 =:-5 <:-1)
=:[1·7·8·12·14·18·23]⚖[9·13·16·20·21·22·26] ➔ >:-9 =:-4 <:-7)
<:[1·2·6·10·13·17·22·23·27]⚖[3·7·9·11·15·20·21·25·26] ➔ >:-3 =:-8 <:-6)))
And we can do 26 balls under the condition that either one ball is lighter or all the balls weigh the same. In both these puzzles there are 27 possibilities, the maximum number we can handle in 3 weighings.
do(Puzzle(26, 3, {-1, 0}))
[1·2·3·4·5·6·7·8·9]⚖[18·19·20·21·22·23·24·25·26] ➔
>:[3·6·8·9·11·17·19·21·23]⚖[1·4·5·7·10·15·18·20·26] ➔
>:[9·12·17·18·21·22]⚖[1·7·15·23·25·26] ➔ >:-26 =:-20 <:-18)
=:[5·12·13·14·15·17·21·25]⚖[1·2·4·6·8·9·16·24] ➔ >:-24 =:-22 <:-25)
<:[2·8·19·24]⚖[6·10·21·25] ➔ >:-21 =:-23 <:-19))
=:[5·9·11·13·15·18·19·21]⚖[2·3·4·10·14·16·20·25] ➔
>:[2·10·20]⚖[7·16·17] ➔ >:-16 =:-14 <:-10)
=:[3·7·11·12·14·25·26]⚖[5·9·15·17·18·19·24] ➔ >:-17 =:0 <:-12)
<:[1·11·20]⚖[12·13·16] ➔ >:-13 =:-15 <:-11))
<:[2·5·9·10·20·21·26]⚖[1·6·8·11·12·15·23] ➔
>:[6·19·20]⚖[1·9·23] ➔ >:-1 =:-8 <:-6)
=:[2·3·8·12]⚖[7·15·16·26] ➔ >:-7 =:-4 <:-3)
<:[8·9·10·19·26]⚖[1·4·5·15·18] ➔ >:-5 =:-2 <:-9)))
Here's a puzzle with 25 balls with an unusual set of possibilities: either one of the odd-numbered balls is heavier, or one of the even-numbered balls is lighter, or no ball is odd.
N = 25
p = Puzzle(N, 3, oddballs={(+b if b % 2 else -b) for b in range(N + 1)})
print(p.oddballs)
{0, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, -24, -22, -20, -18, -16, -14, -12, -10, -8, -6, -4, -2}
do(p)
[1·2·3·4·5·6·7·8·9]⚖[17·18·19·20·21·22·23·24·25] ➔
>:[2·4·6·9·13·17·20·21·25]⚖[3·7·10·11·12·14·15·18·22] ➔
>:[4·5·9·15·19·22]⚖[1·2·8·12·16·23] ➔ >:+9 =:-18 <:-22)
=:[5·6·7·9·16·19·25]⚖[1·3·11·14·17·21·23] ➔ >:+5 =:-24 <:+1)
<:[9·12·21·25]⚖[7·11·18·20] ➔ >:-20 =:+3 <:+7))
=:[5·7·9·12·13·16·17·23]⚖[2·6·8·10·14·18·20·25] ➔
>:[2·3·9·17·22]⚖[8·13·14·21·23] ➔ >:-14 =:-10 <:+13)
=:[2·3·6·8·13·14·15·19·22]⚖[1·4·9·11·12·16·17·18·20] ➔ >:+15 =:0 <:+11)
<:[3·4·10·17·21·25]⚖[5·8·11·12·20·24] ➔ >:-12 =:-16 <:0))
<:[4·7·9·13·16·17·24]⚖[5·6·8·12·18·21·25] ➔
>:[1·2·12·15·22·23]⚖[7·8·10·13·14·17] ➔ >:-8 =:-6 <:+17)
=:[1·3·9·15·20·22·24]⚖[2·8·11·13·19·21·25] ➔ >:-2 =:+23 <:+19)
<:[1·10·14·21]⚖[9·17·22·25] ➔ >:+21 =:-4 <:+25)))
Another variation: 27 balls, 3 weighings, the odd ball can only be lighter, but one ball (number 27) is radioactive and can't be touched or placed on the balance scale. It might, however be the lighter ball, and you still need to report it as such if it is. (That happens when all three weighings are equal.)
do(Puzzle(26, 3, oddballs=range(-27, 0)))
[1·2·3·4·5·6·7·8·9]⚖[18·19·20·21·22·23·24·25·26] ➔
>:[3·7·10·13·17·18·24·25]⚖[1·2·4·9·12·21·23·26] ➔
>:[8·18·23]⚖[7·13·21] ➔ >:-21 =:-26 <:-23)
=:[5·10·12·14·18·19·21]⚖[1·3·8·11·22·24·25] ➔ >:-22 =:-20 <:-19)
<:[22·25·26]⚖[20·23·24] ➔ >:-24 =:-18 <:-25))
=:[2·3·6·7·11·12·13·19·26]⚖[1·4·8·10·15·16·21·22·24] ➔
>:[4·12·13·15·26]⚖[2·10·17·24·25] ➔ >:-10 =:-16 <:-15)
=:[3·9·12·15·17·26]⚖[8·11·14·21·24·25] ➔ >:-14 =:-27 <:-17)
<:[7·9·10·13·18·23·24]⚖[1·5·6·11·20·22·25] ➔ >:-11 =:-12 <:-13))
<:[4·5·8·23]⚖[2·3·6·15] ➔
>:[1·3·8·9·15·16·18·20·22]⚖[2·5·10·11·12·21·24·25·26] ➔ >:-2 =:-6 <:-3)
=:[2·4·9·10·18·19·21·24·26]⚖[5·6·7·8·14·15·16·22·23] ➔ >:-7 =:-1 <:-9)
<:[4·11·14·21]⚖[2·3·5·18] ➔ >:-5 =:-8 <:-4)))
We can tackle larger puzzles. With 4 weighings, we can theoretically handle up to 34 = 81 possibilities. Can we solve for 40 balls?
p40 = Puzzle(40, 4)
do(p40)
None
Unfortunately, no. We always end up with at least one branch with 28 possibilities, but we need 27 or less:
def partition_sizes(puzzle, B):
"How big is each branch of a partition with B balls on both sides?"
part = partition(puzzle.balls[:B], puzzle.balls[-B:], puzzle.oddballs)
return {branch: len(part[branch]) for branch in part}
partition_sizes(p40, 13)
{'gt': 26, 'eq': 28, 'lt': 26}
partition_sizes(p40, 14)
{'gt': 28, 'eq': 24, 'lt': 28}
How about 39 balls, with the possibility that no ball is odd. That's 39 × 2 + 1 = 79 possibilities, but it turns out we can find a good partition, and a solution:
p39 = Puzzle(39, 4, {-1, 0, +1})
partition_sizes(p39, 13)
{'gt': 26, 'eq': 27, 'lt': 26}
do(p39)
[1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13]⚖[27·28·29·30·31·32·33·34·35·36·37·38·39] ➔
>:[2·3·6·12·14·24·26·28·29·30·37·38]⚖[1·4·5·17·19·23·25·27·31·32·33·36] ➔
>:[4·6·13·17·18·24·25·33·37·38·39]⚖[1·2·5·10·12·16·20·23·28·31·36] ➔
>:[8·16·18·27·28·35·36·37·39]⚖[5·7·10·12·14·20·30·31·34] ➔ >:-31 =:+6 <:-36)
=:[8·11·12·22·24·29·30·34·35·37·38]⚖[3·4·13·14·15·17·18·19·23·26·32] ➔ >:-32 =:-27 <:+3)
<:[2·3·11·13·17·30·31·38]⚖[5·7·12·25·27·28·29·35] ➔ >:+2 =:-33 <:+12))
=:[1·2·9·12·13·15·18·21·31]⚖[3·8·10·11·14·16·36·38·39] ➔
>:[4·5·17·19·23·32·35·38]⚖[9·10·21·24·27·29·37·39] ➔ >:-39 =:+13 <:+9)
=:[2·9·13·16·19·24·29·31·32·37·39]⚖[1·4·7·10·12·17·23·26·27·30·34] ➔ >:-34 =:-35 <:+7)
<:[2·6·8·15·18·22·24·26·34·39]⚖[7·10·12·13·14·23·28·31·36·38] ➔ >:+8 =:+11 <:+10))
<:[1·5·11·12·22·23·29·30·33·38]⚖[2·3·13·17·20·27·28·31·34·35] ➔
>:[3·4·5·10·11·17·28·29·34·37]⚖[7·14·16·22·23·24·27·33·36·39] ➔ >:+5 =:+1 <:-28)
=:[3·4·12·30·34]⚖[2·7·10·27·28] ➔ >:+4 =:-37 <:0)
<:[17·29]⚖[8·38] ➔ >:-38 =:-30 <:-29)))
=:[1·7·8·9·12·14·17·18·26·29·32·37]⚖[3·4·5·15·19·20·23·24·28·30·34·38] ➔
>:[3·13·15·18·23·26·28·33·35·36·39]⚖[2·6·9·10·11·14·16·24·29·31·34] ➔
>:[2·10·12·14·18·19·24·30·35·39]⚖[1·4·5·13·17·20·22·29·31·33] ➔ >:+18 =:+26 <:-24)
=:[3·10·11·14·19·23·27·30·34]⚖[5·9·12·18·20·25·28·32·35] ➔ >:-20 =:+17 <:-19)
<:[7·9·11·24]⚖[4·8·14·15] ➔ >:-15 =:-23 <:+14))
=:[4·9·13·20·31·32·39]⚖[7·8·16·21·22·26·35] ➔
>:[1·3·9·13·14·15·20·21·24·28·33]⚖[4·5·6·16·17·23·27·30·35·37·39] ➔ >:-16 =:-22 <:-21)
=:[8·23·29·32·35]⚖[9·20·25·27·37] ➔ >:-25 =:0 <:+25)
<:[8·9·13·19·21·27·31·36·37]⚖[3·5·10·17·22·26·30·34·38] ➔ >:+21 =:+16 <:+22))
<:[1·2·3·16·17·20·23·26·28·32·34·38·39]⚖[4·5·8·10·14·15·21·22·27·30·33·35·37] ➔
>:[5·9·15·16·17·18·25·27·30·37·38]⚖[2·7·12·14·19·22·23·32·34·35·39] ➔ >:-14 =:+20 <:+23)
=:[2·5·6·9·10·12·15·17·21·23·30·36·39]⚖[1·3·7·13·14·18·24·25·28·31·33·34·38] ➔ >:-18 =:+19 <:+24)
<:[2·10·13·15·23·26·31·35·36]⚖[5·9·16·19·20·27·29·33·38] ➔ >:+15 =:-17 <:-26)))
<:[1·10·12·13·15·27·31·33·34·35·37]⚖[3·5·8·14·22·23·26·28·32·36·39] ➔
>:[2·3·11·14·15·20·23·26·27·34·39]⚖[7·8·10·12·18·19·22·28·30·31·37] ➔
>:[2·5·7·10·11·17·22·29·34·37·38·39]⚖[3·9·12·13·15·21·23·27·31·32·33·36] ➔ >:+34 =:-8 <:+27)
=:[1·5·8·11·12·13·15·26·29·30·32·35]⚖[3·6·7·10·17·24·25·27·34·36·37·39] ➔ >:+35 =:+33 <:-5)
<:[2·4·5·6·7·15·18·22·25·31·34·39]⚖[1·13·23·24·26·29·30·32·35·36·37·38] ➔ >:+31 =:-3 <:+37))
=:[4·5·11·14·35·38]⚖[7·9·21·24·29·32] ➔
>:[2·4·6·9·13·23·31·32·33]⚖[1·7·10·11·15·16·22·26·34] ➔ >:-7 =:+38 <:-9)
=:[2·4·9·13·14·19·26·27·30·38·39]⚖[8·11·12·16·18·20·23·28·33·35·37] ➔ >:+30 =:-6 <:-2)
<:[3·17·19·35]⚖[4·12·20·29] ➔ >:-4 =:-11 <:+29))
<:[5·11·13·15·19·25·34·37·38]⚖[2·9·10·12·24·27·30·32·36] ➔
>:[6·12·28]⚖[4·16·21] ➔ >:0 =:-10 <:-12)
=:[4·9·10·22·23·27·30·32·39]⚖[2·3·14·16·20·25·28·33·38] ➔ >:+39 =:-1 <:+28)
<:[3·14·17·18·19·21·22·23·29·30·32·33·38]⚖[1·4·8·10·11·16·24·25·26·27·31·36·37] ➔ >:+32 =:-13 <:+36))))
How about 80 balls under the condition that no ball can be heavier (thus, 81 possibilities):
do(Puzzle(80, 4, {-1, 0}))
[1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15·16·17·18·19·20·21·22·23·24·25·26·27]⚖[54·55·56·57·58·59·60·61·62·63·64·65·66·67·68·69·70·71·72·73·74·75·76·77·78·79·80] ➔
>:[2·3·4·7·8·10·12·18·24·34·38·40·44·49·53·58·59·62·64·72·73·76·77·78]⚖[11·14·15·20·22·23·25·27·31·32·35·42·43·50·52·54·55·56·60·63·65·66·70·79] ➔
>:[1·2·4·11·14·24·30·32·37·39·40·46·48·49·52·53·54·56·60·61·62·67·76·77]⚖[12·17·18·20·22·23·25·28·29·31·33·34·36·41·44·45·51·58·63·65·66·68·69·73] ➔
>:[11·14·15·16·20·22·26·33·40·42·47·57·60·65·68·69·70·77]⚖[1·6·10·17·19·25·30·32·35·43·58·59·62·64·66·73·74·78] ➔ >:-66 =:-63 <:-65)
=:[2·3·10·12·13·14·15·17·28·30·37·39·47·50·63·65·79]⚖[1·4·6·8·20·23·26·27·34·38·40·43·54·55·61·67·71] ➔ >:-55 =:-70 <:-79)
<:[3·4·9·16·23·24·33·41·42·49·53·56·57·63·64·66·69·70·71·77·79·80]⚖[6·7·11·12·13·15·17·18·19·34·35·37·44·46·47·51·58·59·60·62·67·75] ➔ >:-60 =:-54 <:-56))
=:[4·8·13·14·17·18·20·22·23·24·27·30·40·41·48·50·53·67·70·71·75]⚖[2·5·7·16·19·26·28·32·35·39·44·51·54·55·61·64·68·69·72·77·78] ➔
>:[6·15·35·38·41·42·63·65·68]⚖[19·28·33·40·55·57·59·66·69] ➔ >:-69 =:-61 <:-68)
=:[9·16·23·66·73·74]⚖[17·18·29·32·55·80] ➔ >:-80 =:-57 <:-74)
<:[1·3·11·13·15·17·36·47·71·78·79]⚖[2·20·27·33·52·56·57·59·67·76·80] ➔ >:-67 =:-75 <:-71))
<:[9·13·14·15·16·19·21·44·47·49·53·56·64·66·68·71·74·77·78·80]⚖[6·7·8·10·11·24·28·31·32·37·39·40·50·51·55·58·62·69·72·79] ➔
>:[2·5·9·11·22·29·33·54·55·56·62·68·76·80]⚖[7·10·13·15·16·17·18·20·28·36·40·58·64·79] ➔ >:-58 =:-72 <:-62)
=:[6·9·15·19·29·41·66·73]⚖[1·23·31·51·59·60·70·78] ➔ >:-59 =:-76 <:-73)
<:[4·5·6·12·18·19·23·29·31·39·40·43·45·47·57·61·62·65·66·70·73·77]⚖[2·9·16·22·25·27·30·37·48·49·53·60·63·69·71·72·74·75·76·78·79·80] ➔ >:-78 =:-64 <:-77)))
=:[6·11·12·14·16·24·26·27·28·29·31·36·37·38·44·50·51·54·59·60·67·72·75·77·78·80]⚖[1·2·4·7·10·17·18·20·21·22·30·32·34·42·43·46·48·49·53·56·57·61·64·69·74·76] ➔
>:[3·4·11·17·20·21·22·23·24·28·29·32·36·39·41·43·49·54·58·62·66·68·72·74·75·79]⚖[5·6·12·16·18·19·25·26·30·34·35·38·42·44·45·50·59·61·65·67·69·70·76·77·78·80] ➔
>:[1·11·14·16·21·30·31·33·41·43·45·46·49·51·54·62·63·77·80]⚖[2·3·10·15·20·22·24·25·29·40·42·48·50·52·64·65·68·70·71] ➔ >:-42 =:-34 <:-30)
=:[1·3·6·9·19·21·23·24·26·31·39·49·53·59·64·69·80]⚖[2·4·27·30·36·38·40·41·46·50·54·57·61·63·68·71·72] ➔ >:-46 =:-48 <:-53)
<:[9·14·15·18·20·22·27·28·43·52·63·65·77·79]⚖[1·7·11·21·26·30·41·42·49·56·67·68·69·74] ➔ >:-49 =:-32 <:-43))
=:[1·2·4·6·11·17·21·24·31·35·40·41·43·54·60·63·65·67·73·76]⚖[10·14·15·18·26·28·36·37·39·45·47·48·56·58·59·64·71·74·75·79] ➔
>:[2·11·13·16·24·25·28·39·40·59·72·76·79]⚖[3·21·31·38·47·50·52·57·58·74·77·78·80] ➔ >:-47 =:-45 <:-39)
=:[18·25·30·34·52·57·64·75·76]⚖[13·21·33·45·53·62·70·72·80] ➔ >:-33 =:0 <:-52)
<:[1·9·35·52·69·73]⚖[4·10·31·40·42·61] ➔ >:-40 =:-41 <:-35))
<:[5·6·9·15·20·26·30·32·33·35·37·38·39·43·45·50·53·56·58·62·66·73·74·77·79·80]⚖[2·4·8·10·11·12·14·16·18·22·23·28·40·42·44·46·48·51·52·57·60·65·68·69·71·78] ➔
>:[1·2·3·9·24·27·35·39·45·49·51·59·62·63·70·71·76·77]⚖[16·19·21·22·30·37·38·41·42·43·44·46·50·53·64·65·73·75] ➔ >:-44 =:-28 <:-51)
=:[2·6·12·15·18·24·28·36·42·43·54·57·58·62·63·64·65·66]⚖[3·5·9·10·19·20·21·23·27·29·33·47·48·60·68·75·78·79] ➔ >:-29 =:-31 <:-36)
<:[1·3·6·7·9·12·14·41·43·50·54·61·64·65]⚖[5·11·22·25·29·32·33·35·38·49·55·62·70·71] ➔ >:-38 =:-37 <:-50)))
<:[1·6·14·15·21·23·24·25·26·29·32·38·42·53·62·65·66·67·70·71·73·76·79]⚖[3·7·8·10·13·16·17·18·20·31·34·37·39·41·47·49·54·56·58·60·64·68·75] ➔
>:[2·6·13·16·20·27·32·33·43·46·47·48·59·61·66·67·68·71·72·74·76·78]⚖[3·5·10·12·18·23·25·28·29·30·31·34·40·45·52·54·58·60·64·73·75·80] ➔
>:[2·6·18·24·35·36·43·46·50·52·56·58·63·64·66·68·74·76]⚖[4·5·8·9·10·12·16·17·21·26·48·51·53·60·73·75·77·78] ➔ >:-10 =:-3 <:-18)
=:[3·5·17·20·21·25·26·27·32·43·44·45·47·52·58·64·71·72·75·79]⚖[7·11·12·13·29·33·34·37·41·46·49·51·54·57·62·66·68·70·74·77] ➔ >:-7 =:-8 <:-17)
<:[4·8·12·15·18·20·21·27·28·33·38·46·47·61·70·71·79]⚖[3·6·10·16·17·26·30·31·34·35·37·48·59·64·68·73·80] ➔ >:-16 =:-13 <:-20))
=:[1·5·12·21·22·35·38·40·52·58·61·65]⚖[4·19·25·27·29·46·48·50·53·56·59·76] ➔
>:[8·10·12·17·27·58·76]⚖[11·15·19·46·54·62·63] ➔ >:-19 =:-4 <:-27)
=:[2·24·25·27·33·42·48·62·67]⚖[9·17·22·31·43·44·59·64·73] ➔ >:-9 =:-11 <:-2)
<:[5·18·19·23·34·41·63·69·70]⚖[2·4·17·22·26·39·43·61·68] ➔ >:-22 =:-12 <:-5))
<:[2·3·5·7·8·9·14·17·19·20·21·22·25·27·31·32·35·38·39·45·52·53·55·57·65·69·78]⚖[10·12·18·23·24·26·29·30·33·34·37·40·43·44·58·59·60·61·64·66·68·71·72·73·74·75·77] ➔
>:[4·12·13·24·25·35·44·49·52·56·57·59·61·62·63·64·70·78]⚖[6·7·18·19·20·23·40·41·42·45·46·47·51·67·68·71·72·79] ➔ >:-23 =:-26 <:-24)
=:[1·7·12·19·22·29·36·40·42·58·59·61·62·71·79·80]⚖[13·15·16·30·32·35·41·44·56·60·65·66·70·75·76·78] ➔ >:-15 =:-6 <:-1)
<:[14·34·36·39·41·53·70·74·76·79]⚖[3·5·6·21·28·42·49·60·62·68] ➔ >:-21 =:-25 <:-14))))
Looking good (except that the output is longer than the line length, and so again is hard to read).
With 5 weighings, 35 = 243, so I might be able to handle up to 121 lighter-or-heavier balls (242 possibilities). Let's try:
do(Puzzle(121, 5))
None
partition_sizes(Puzzle(121, 5), 41)
{'gt': 82, 'eq': 78, 'lt': 82}
Nope, that didn't work. Let's back off to 2 × 120 + 1 = 241 possibilities:
do(Puzzle(120, 5, {-1, 0, +1}))
[1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15·16·17·18·19·20·21·22·23·24·25·26·27·28·29·30·31·32·33·34·35·36·37·38·39·40]⚖[81·82·83·84·85·86·87·88·89·90·91·92·93·94·95·96·97·98·99·100·101·102·103·104·105·106·107·108·109·110·111·112·113·114·115·116·117·118·119·120] ➔
>:[4·6·7·11·13·14·18·21·23·35·36·38·40·42·47·49·61·65·69·71·73·74·75·78·79·80·86·88·93·95·98·99·100·104·105·113·114·115·116]⚖[2·8·9·12·15·17·19·20·25·27·29·34·37·41·44·45·46·53·55·58·62·64·66·72·76·84·90·91·92·96·97·101·102·103·108·110·111·117·118] ➔
>:[10·21·22·26·34·36·43·46·48·49·50·51·53·56·57·61·62·66·67·68·70·71·82·89·91·93·100·110·111·114·119·120]⚖[4·6·13·14·16·17·24·35·39·40·41·42·47·52·55·59·60·65·75·81·90·92·94·96·98·101·102·103·105·109·115·117] ➔
>:[1·6·8·14·17·18·23·25·26·28·29·35·38·48·49·51·58·60·66·69·76·81·82·85·87·88·93·94·100·102·103·108·112·115]⚖[2·7·9·12·15·19·24·27·32·36·37·39·41·43·53·55·56·59·61·63·65·70·73·80·84·90·92·97·99·106·107·110·111·117] ➔
>:[4·5·66·71·77·90·107]⚖[8·19·44·50·65·104·117] ➔ >:-117 =:-92 <:-90)
=:[1·2·4·5·7·14·17·18·25·26·37·40·43·46·47·49·52·56·63·74·75·76·77·78·79·84·85·88·95·105·108·109·110·118]⚖[3·12·19·21·29·33·48·50·51·53·54·58·62·64·68·71·73·83·92·98·100·101·102·103·104·106·107·111·112·114·116·117·119·120] ➔ >:-101 =:-96 <:+21)
<:[1·14·18·28·34·37·39·48·53·61·64·66·67·81·96·99·105·108·118]⚖[4·13·21·33·36·41·44·59·60·63·70·83·84·90·91·95·103·109·115] ➔ >:-103 =:-102 <:+36))
=:[3·6·12·13·15·16·17·20·23·24·25·27·37·38·40·46·50·54·55·61·62·69·75·76·84·87·92·95·98·109·111·112·113·114·116·118·119]⚖[1·4·8·10·11·19·21·26·31·33·34·39·43·48·49·51·56·57·58·59·65·67·71·74·78·81·82·86·88·91·93·105·106·107·108·115·120] ➔
>:[2·3·8·11·17·25·28·30·32·35·38·40·41·59·60·68·73·74·75·85·88·91·95·108·110]⚖[12·13·14·24·27·29·39·45·55·58·62·65·70·79·83·86·90·96·103·104·111·112·117·118·119] ➔ >:+38 =:+23 <:-108)
=:[17·18·41·47·67·70·71·84·88·106·109·112·114·116·117·120]⚖[5·7·13·22·24·25·39·46·49·72·78·80·93·100·101·102] ➔ >:+18 =:-97 <:+7)
<:[11·15·20·22·23·26·29·32·40·43·55·59·60·64·70·73·76·79·80·82·83·84·85·86·90·94·100·101·115·117]⚖[2·5·8·17·19·21·25·28·30·34·35·37·39·46·47·51·56·57·74·91·93·95·99·106·107·110·111·113·114·120] ➔ >:+11 =:-118 <:-84))
<:[5·6·9·11·17·19·24·28·29·30·31·35·38·44·48·49·57·64·65·73·75·79·84·85·88·90·93·94·95·98·101·103·105·106·112·120]⚖[2·10·13·14·16·18·20·21·23·32·34·37·39·40·47·50·54·55·56·60·67·69·70·71·72·77·78·80·81·86·100·109·110·114·116·117] ➔
>:[14·15·38·42·59·63·66·116]⚖[6·27·70·80·93·109·110·118] ➔ >:-110 =:+35 <:+6)
=:[11·26·45·58·78·81·87·94·95·97·105·118]⚖[4·12·13·19·28·48·64·74·83·84·88·91] ➔ >:-91 =:-111 <:+4)
<:[6·16·20·26·35·40·50·55·63·64·68·69·71·76·79·82·83·84·92·107·117·119]⚖[12·13·21·23·25·27·32·38·45·46·52·53·59·66·72·74·85·96·97·99·101·109] ➔ >:+40 =:+14 <:+13)))
=:[4·9·21·26·27·28·33·37·39·40·49·52·55·56·60·61·64·69·79·80·81·83·84·89·90·91·95·96·105·106·107·110·113·114·120]⚖[2·5·8·11·14·15·18·19·24·25·29·30·48·50·54·59·68·71·77·78·82·85·86·88·92·93·94·97·99·103·108·112·117·118·119] ➔
>:[6·13·29·32·33·34·35·36·39·41·42·45·50·54·66·70·73·74·82·88·89·91·92·93·97·102·110·112·115·117·119]⚖[1·2·3·12·14·18·20·21·25·38·47·48·53·56·60·65·67·76·77·81·84·85·87·95·96·104·107·111·116·118·120] ➔
>:[1·5·6·9·14·16·18·19·20·35·39·40·41·42·49·53·54·62·63·65·66·79·85·87·92·93·103·108·111·112·113·114·119·120]⚖[2·4·12·15·23·24·25·27·29·30·31·34·44·47·51·55·56·59·60·67·70·76·81·82·84·86·89·98·100·104·105·106·110·118] ➔ >:+39 =:+33 <:-85)
=:[4·5·19·23·24·30·37·38·66·75·77·81·90·106·115]⚖[10·17·18·26·32·34·49·61·70·89·94·96·101·110·118] ➔ >:-94 =:+28 <:+26)
<:[8·12·13·17·48·54·56·68·86·90·116·119]⚖[11·20·43·72·74·77·80·82·88·89·99·101] ➔ >:-82 =:-112 <:-119))
=:[1·4·6·8·9·13·16·19·20·31·35·38·41·42·48·54·58·66·69·71·74·78·80·82·85·86·87·88·89·95·96·97·108·112·113·117·118]⚖[2·5·7·10·12·17·21·23·25·26·32·33·36·39·40·43·45·50·51·55·59·60·62·65·67·72·76·81·84·92·98·99·101·102·114·119·120] ➔
>:[1·4·5·6·7·8·12·17·18·20·23·24·28·32·35·52·56·59·61·68·77·83·86·94·99·102·103·106·116·117·118·119]⚖[2·3·11·14·16·34·37·38·46·48·53·58·62·63·64·65·66·67·72·73·81·87·89·90·92·100·108·109·110·112·113·114] ➔ >:+1 =:+31 <:+16)
=:[4·15·20·22·24·36·85·91·101·103·104·106·116]⚖[3·9·29·32·33·65·67·70·74·75·79·93·107] ➔ >:+22 =:-109 <:+3)
<:[28·32·39·42·52·54·67·74·87·92]⚖[7·33·56·57·70·73·78·84·101·117] ➔ >:+32 =:+10 <:-87))
<:[6·7·8·10·13·18·20·23·24·31·43·44·48·50·51·52·54·61·64·72·80·82·83·85·91·93·99·108·109·110·112·118·120]⚖[1·5·9·11·12·19·22·28·33·35·36·38·42·47·55·56·59·60·74·75·79·84·90·95·98·101·103·106·107·114·115·116·119] ➔
>:[1·5·7·9·17·21·28·32·44·60·71·74·79·100·101]⚖[3·13·19·23·24·38·39·47·50·81·83·86·93·107·116] ➔ >:-107 =:-106 <:+24)
=:[3·16·24·28·30·38·40·41·53·54·55·60·65·67·68·80·84·89·94·97·99·103·106·109·113]⚖[6·8·11·12·23·26·31·32·34·39·43·47·56·62·63·66·71·75·77·79·98·100·107·114·118] ➔ >:+30 =:-81 <:-89)
<:[5·7·8·16·24·45·46·51·60·69·71·79·80·81·82·83·89·101·110]⚖[14·17·26·27·29·31·33·34·43·54·55·63·66·76·77·95·106·118·119] ➔ >:+5 =:-120 <:-83)))
<:[8·12·22·25·28·29·32·36·37·40·49·51·56·63·65·68·72·73·75·78·87·88·92·93·97·99·101·104·109·111·112·118]⚖[1·2·4·14·17·19·20·33·34·41·44·47·55·57·58·62·66·67·70·77·79·80·82·89·90·98·105·107·108·113·114·120] ➔
>:[2·4·6·9·17·20·21·24·25·29·35·36·38·41·45·55·76·77·79·88·96·105·113·114]⚖[7·22·28·32·39·43·47·49·57·58·67·72·73·74·83·91·93·97·98·99·107·115·118·120] ➔
>:[7·25·39·47·49·50·56·66·84·105]⚖[13·20·29·48·61·67·73·85·86·93] ➔ >:+25 =:-98 <:+29)
=:[6·12·13·32·35·39·41·55·66·89·96·105]⚖[5·8·16·38·40·43·74·75·82·93·95·113] ➔ >:+12 =:+37 <:+8)
<:[3·8·18·19·21·32·35·39·40·43·47·51·52·65·66·69·74·89·94·98·108·114]⚖[6·7·15·28·29·36·45·58·79·81·82·84·86·87·93·101·105·106·111·117·118·120] ➔ >:-105 =:-113 <:-114))
=:[7·8·15·17·22·31·32·42·47·53·64·65·75·77·82·84·87·88·89·93·94·96·99·100·106·108·119]⚖[4·6·9·10·11·35·36·37·40·43·49·50·56·57·61·66·71·72·78·80·95·98·104·107·111·114·115] ➔
>:[7·8·13·17·21·22·23·28·30·31·35·37·45·46·51·78·83·90·115·117·118]⚖[4·9·14·24·32·57·60·65·71·77·86·95·96·98·99·100·109·110·111·113·116] ➔ >:-95 =:+15 <:-115)
=:[2·8·14·18·23·25·36·44·46·70·84·98·110·112·114]⚖[6·16·27·51·54·57·62·64·74·86·87·92·94·111·115] ➔ >:-86 =:-116 <:+27)
<:[10·61·69·90·112·113·117]⚖[22·40·43·59·96·100·114] ➔ >:-100 =:+9 <:0))
<:[4·7·12·16·19·22·23·40·46·48·49·56·58·61·63·68·69·74·79·80·83·85·86·87·89·92·95·104·111·112·120]⚖[3·9·10·11·17·20·26·27·28·29·35·36·45·50·51·52·53·66·67·71·73·76·81·93·98·99·102·103·107·108·117] ➔
>:[2·4·24·26·32·35·46·50·53·57·62·70·71·72·81·86·87·89·90·103·106·109·111·112·118]⚖[14·19·22·30·31·33·42·45·54·59·61·67·69·74·79·83·92·93·96·98·100·105·110·113·116] ➔ >:-93 =:-99 <:+19)
=:[1·2·12·19·23·35·48·65·73·79·84·89·91·103·108·109]⚖[15·16·20·25·32·34·37·44·47·66·78·83·96·102·104·114] ➔ >:+2 =:-88 <:+34)
<:[7·14·17·22·31·45·52·54·59·71·73·76·97·104·114·119]⚖[4·12·19·25·35·39·43·46·48·60·61·63·80·101·102·110] ➔ >:+17 =:+20 <:-104))))
=:[2·7·17·18·21·31·32·40·41·42·43·45·51·52·53·56·57·63·66·69·72·73·75·78·79·82·88·95·96·99·100·107·111·117]⚖[3·4·5·6·10·12·13·19·23·25·26·33·35·44·47·49·55·58·59·65·67·68·74·84·85·89·102·105·106·112·113·114·115·118] ➔
>:[1·2·9·11·13·14·15·21·22·24·30·34·39·44·51·52·62·63·65·70·72·77·81·86·87·89·91·92·93·95·98·100·103·105·109·116]⚖[3·6·7·8·10·16·17·25·26·27·28·32·33·41·42·43·45·46·47·49·50·55·57·60·61·68·74·75·76·79·110·111·112·113·117·118] ➔
>:[1·5·6·10·19·33·34·39·42·45·47·49·51·62·72·73·98·104·113·114·115·116·120]⚖[4·12·14·15·20·22·24·26·35·43·44·63·68·70·76·78·82·83·85·97·100·102·110] ➔
>:[2·8·11·14·21·22·24·28·32·39·41·47·48·49·51·53·56·57·63·64·67·73·74·75·80·90·92·93·94·99·108·109·112·113·117·120]⚖[3·5·9·13·25·30·31·33·35·38·40·43·44·45·46·50·54·55·58·60·61·62·71·72·76·78·81·85·98·100·102·105·114·115·116·118] ➔ >:+51 =:-68 <:+72)
=:[6·13·15·22·41·42·55·69·73·86·91·98·100·102·105·116·118]⚖[3·9·10·38·50·51·53·54·71·72·74·94·99·101·107·109·111] ➔ >:-74 =:+52 <:-55)
<:[3·5·8·11·13·14·27·29·39·44·46·54·56·61·65·66·69·70·74·75·80·83·86·90·106·109·113·116·119·120]⚖[6·17·18·22·23·24·26·34·36·37·41·42·43·47·52·53·57·58·59·60·63·64·72·91·93·99·101·105·107·114] ➔ >:-47 =:-49 <:+63))
=:[1·9·17·18·22·25·29·31·33·39·41·51·54·57·58·59·60·63·65·66·70·75·78·81·88·97·110·118]⚖[2·3·5·7·16·28·37·38·46·50·56·64·67·76·80·82·86·89·96·101·102·103·105·108·111·116·119·120] ➔
>:[2·6·25·38·40·41·54·79·82·93·104·105]⚖[9·11·60·66·67·68·71·81·86·91·101·120] ➔ >:-67 =:+78 <:+66)
=:[22·29·43·48·53·82·98·104·119]⚖[3·20·36·37·51·57·61·69·115] ➔ >:+53 =:+73 <:+69)
<:[8·17·26·39·40·56·59·76·83·91·97·100·108]⚖[6·12·21·31·37·47·55·70·75·82·95·106·119] ➔ >:+56 =:-58 <:-59))
<:[1·4·5·7·8·11·25·31·32·34·38·40·45·47·51·61·66·67·70·74·77·79·80·81·82·85·86·87·89·94·98·100·103·110·115·116·117·118·119]⚖[2·6·12·14·16·17·21·23·27·35·36·39·41·42·52·56·58·60·62·63·64·65·68·69·71·72·73·75·76·84·91·92·96·102·105·111·112·113·114] ➔
>:[14·29·30·32·35·44·45·63·65·74·97]⚖[17·20·57·67·68·85·91·94·105·111·115] ➔ >:+45 =:+79 <:-65)
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<:[8·9·10·13·18·30·42·46·47·51·53·59·71·73·79·82·95·96·111·112·117]⚖[11·23·24·35·41·58·60·62·67·70·76·80·83·90·93·99·101·107·109·115·116] ➔ >:+42 =:+75 <:+41)))
=:[1·2·8·13·14·19·21·24·29·35·44·54·55·60·63·64·66·70·75·78·86·87·89·91·94·98·106·111·116·117·119·120]⚖[6·12·20·28·30·31·32·33·37·38·46·47·59·62·67·71·72·73·74·77·80·82·88·97·99·103·104·107·109·110·113·114] ➔
>:[5·11·18·19·21·24·27·29·35·37·39·41·45·46·58·62·63·68·69·70·73·83·87·88·95·96·107·108·113·116·117·118·119·120]⚖[1·2·7·9·10·12·22·23·36·40·47·48·49·50·52·53·64·65·67·72·74·75·77·80·81·85·89·94·98·99·101·105·109·115] ➔
>:[10·12·20·24·29·40·46·61·63·70·77·108·109]⚖[7·30·39·47·58·66·68·76·89·96·106·118·119] ➔ >:+70 =:-80 <:-77)
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=:[9·25·30·45·48·51·56·61·71·88·93·96·97·98·99·102·120]⚖[13·31·40·42·43·46·49·60·63·69·73·75·76·78·106·113·114] ➔
>:[14·20·32·48·65·68·76·83·93·99·108·115·116]⚖[13·17·21·22·29·35·40·49·52·55·58·67·103] ➔ >:+48 =:+61 <:-76)
=:[15·48·50·51·69·83·89·108]⚖[6·23·29·32·100·105·110·120] ➔ >:+50 =:0 <:-50)
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<:[3·5·7·10·12·21·23·25·31·34·43·45·47·48·49·53·54·55·57·59·63·69·79·80·81·82·85·89·93·95·98·102·103·104·105·113·115]⚖[8·13·18·32·38·39·40·41·42·44·50·52·56·61·62·64·65·66·70·71·73·75·76·83·88·92·96·101·107·108·109·110·111·114·116·117·120] ➔
>:[11·16·17·21·28·33·43·51·53·55·58·70·79·80·84·86·87·96·106·107·109·117]⚖[5·8·12·15·19·23·24·44·61·63·67·71·74·78·81·90·94·100·114·115·116·120] ➔ >:+80 =:-64 <:-70)
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<:[15·20·25·35·51·67·71·81·95·96·109]⚖[12·18·53·62·73·76·80·91·92·115·120] ➔ >:+71 =:-54 <:+62)))
<:[1·2·3·11·12·14·16·18·20·25·28·30·32·35·41·44·45·50·53·55·56·60·67·75·76·77·80·83·85·87·88·90·98·102·107·108·111·119·120]⚖[4·6·7·10·13·15·21·23·24·26·29·36·37·42·43·47·48·52·57·59·62·64·65·74·78·79·82·89·91·95·96·99·103·105·112·113·114·115·118] ➔
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=:[4·19·25·31·53·66·71·73·79·84·88]⚖[7·16·20·34·37·42·45·47·65·89·100] ➔ >:-42 =:+44 <:-79)
<:[1·9·11·19·31·32·34·41·51·56·57·63·64·66·67·69·71·84·85·92·100·112]⚖[6·12·16·30·42·50·52·58·62·72·76·78·80·81·88·93·105·106·107·109·110·114] ➔ >:-78 =:+55 <:-57))
=:[2·6·9·10·12·15·16·20·23·25·31·38·42·43·45·46·48·51·53·54·57·58·68·73·75·78·83·90·93·98·99·102·106·109·114·117·118·119]⚖[3·5·8·11·14·17·18·19·21·26·28·30·32·34·35·36·40·49·60·61·67·71·72·76·80·81·82·86·87·91·96·101·110·111·112·113·115·120] ➔
>:[4·9·18·19·30·32·34·36·41·56·57·67·68·72·86·93·94·104·107·114·117]⚖[7·15·17·22·25·31·44·46·48·54·60·62·63·76·77·85·97·98·100·101·106] ➔ >:+68 =:+58 <:-72)
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<:[3·4·11·15·18·25·26·27·29·36·38·45·49·53·54·59·60·65·66·77·78·85·87·98·99·105·113·115]⚖[2·8·9·14·17·20·23·30·39·43·47·51·61·63·70·71·75·81·90·91·92·97·101·104·106·112·117·118] ➔
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=:[7·9·11·15·21·22·23·32·42·45·50·52·53·54·60·77·78·87·103·105·109·111·114]⚖[1·3·8·10·14·16·24·26·30·31·35·36·37·41·44·62·67·72·80·91·93·99·118] ➔ >:-37 =:+89 <:-22)
<:[2·6·8·11·13·16·21·22·33·34·37·40·42·44·45·48·49·51·52·56·57·58·61·64·66·67·77·84·86·87·94·101·105·111·113·114·115·119·120]⚖[7·9·18·23·25·28·31·32·35·41·43·46·50·53·55·59·65·68·70·72·75·76·78·80·81·83·85·89·92·100·102·103·104·106·108·109·116·117·118] ➔ >:+115 =:+97 <:-6))
=:[8·9·14·15·16·19·20·23·27·37·44·47·48·50·59·60·61·69·78·80·82·83·84·89·90·94·97·99·100·106·108·117·118·119]⚖[1·2·4·13·18·21·30·32·33·35·36·38·39·40·43·52·56·57·62·65·67·71·79·81·85·88·93·96·101·103·104·105·111·116] ➔
>:[35·40·45·49·57·63·91·106]⚖[8·29·46·54·55·72·76·117] ➔ >:+106 =:-1 <:+117)
=:[5·8·11·12·13·16·26·28·42·43·54·56·58·69·74·76·77·91·97·101·105·107·115·118]⚖[1·3·10·14·15·21·23·24·33·34·38·40·45·48·49·55·70·71·73·90·93·99·100·110] ➔ >:-34 =:+92 <:-11)
<:[11·14·15·54·64·81·91]⚖[16·19·44·92·109·116·118] ➔ >:-16 =:+88 <:-15))
<:[7·15·16·22·27·30·36·37·38·39·42·43·46·50·51·52·54·56·58·60·64·70·72·75·76·77·78·80·82·88·89·91·93·94·99·100·101·102·103·105]⚖[1·2·4·6·8·10·11·13·14·17·18·21·23·24·28·29·41·45·47·53·55·61·62·66·67·68·71·84·85·90·92·96·108·109·111·113·114·116·119·120] ➔
>:[10·14·26·31·41·51·62·63·93·105·114]⚖[9·13·55·61·79·90·92·94·115·116·120] ➔ >:+105 =:+82 <:-14)
=:[10·15·18·25·26·34·35·39·40·42·43·46·47·53·58·59·61·62·66·67·70·79·80·89·96·99·101·110·120]⚖[3·6·8·9·11·13·23·28·29·32·50·60·69·74·76·78·82·84·85·87·92·93·95·102·108·109·111·113·119] ➔ >:+110 =:+107 <:-40)
<:[7·11·13·23·27·40·41·45·46·53·55·56·58·62·71·76·83·88·95·101·109·114·115·117]⚖[2·8·20·28·29·34·42·47·50·54·59·64·66·68·69·74·75·79·91·93·94·102·103·106] ➔ >:+114 =:+96 <:-27)))
=:[5·6·10·13·19·20·23·26·28·37·41·46·48·52·53·57·58·61·62·64·66·67·68·70·71·72·73·78·83·94·96·99·105·107·108·109·117·118·120]⚖[1·3·7·9·12·18·21·25·27·29·30·31·32·34·38·42·43·44·47·49·54·55·56·60·75·76·79·81·85·86·88·92·98·100·102·103·104·106·115] ➔
>:[3·6·12·16·21·22·24·25·27·31·33·46·66·67·76·79·84·87·89·92·94·110·112·120]⚖[15·18·23·26·38·39·42·44·45·47·52·53·56·57·62·64·71·90·93·96·99·105·108·118] ➔
>:[9·22·23·27·28·30·40·43·44·45·49·55·57·58·60·65·74·80·83·84·98·101·106·113·117·119]⚖[13·16·20·21·25·32·33·38·41·51·53·61·68·69·70·72·82·94·95·96·99·108·109·110·112·120] ➔ >:-38 =:-18 <:+120)
=:[2·9·11·22·43·47·58·83·103·110·111·114]⚖[3·4·6·35·45·60·78·89·91·92·106·118] ➔ >:+83 =:+109 <:-9)
<:[3·5·6·20·23·26·36·39·40·41·63·76·77·78·82·83·97·103·104·108]⚖[21·25·33·34·38·54·58·59·60·62·67·72·90·92·94·98·109·113·114·119] ➔ >:-21 =:-31 <:-3))
=:[2·4·6·8·9·12·14·16·20·23·31·33·34·45·46·47·48·51·55·58·60·64·68·71·76·77·81·82·83·86·89·100·101·108·115·118·119]⚖[5·10·13·17·25·26·27·28·38·42·44·52·53·61·62·63·65·66·70·73·79·87·91·93·94·95·96·97·98·102·103·105·106·112·114·117·120] ➔
>:[3·10·12·25·28·65·69·80·81·90·101·108·109·112]⚖[19·23·34·39·40·60·63·76·77·94·100·102·114·119] ➔ >:+101 =:-17 <:+119)
=:[7·17·19·20·25·28·34·37·38·46·48·51·54·57·60·62·70·71·76·90·93·95·97·98·105·118·120]⚖[1·2·6·9·27·29·35·45·50·53·58·65·69·73·79·83·84·85·87·88·91·94·96·111·115·117·119] ➔ >:-35 =:-36 <:+84)
<:[28·51·60·61·95·99·103·108·115]⚖[31·38·62·64·69·91·94·96·97] ➔ >:+95 =:-2 <:+91))
<:[2·6·14·17·21·23·25·26·27·29·31·43·44·49·59·64·71·74·88·90·95·100·103·104·106·116·119]⚖[5·7·8·16·18·19·28·34·37·38·45·48·57·67·73·76·77·78·86·89·91·93·97·98·99·113·114] ➔
>:[8·13·14·15·16·18·23·25·27·37·43·44·49·52·56·61·64·67·69·71·74·77·81·86·87·93·100·101·102·104·108·109·116]⚖[3·5·12·17·19·22·24·30·34·35·38·40·48·50·51·54·55·58·59·63·65·66·84·90·91·95·97·99·103·111·114·117·118] ➔ >:+104 =:-28 <:+103)
=:[6·8·9·11·25·36·39·41·57·62·77·95·96·99·103·118]⚖[1·12·13·26·35·43·49·53·72·76·85·92·104·105·114·116] ➔ >:-13 =:+102 <:+85)
<:[6·17·24·25·33·40·42·44·50·56·57·62·63·64·67·68·71·76·80·91·94·99·101·112·113·114·115·117·119·120]⚖[4·8·15·21·22·23·35·36·38·45·47·60·69·72·74·83·86·87·88·89·93·95·98·103·104·105·108·109·111·116] ➔ >:-23 =:-26 <:+98)))
<:[3·4·8·11·15·21·22·23·25·33·41·44·46·47·51·55·57·59·61·62·64·68·70·72·77·81·85·90·91·92·95·96·97·100·103·116·117·119·120]⚖[2·7·10·18·27·28·29·31·32·36·37·38·39·40·42·45·48·52·54·58·60·71·73·75·82·83·84·86·87·89·98·99·104·105·107·108·109·112·113] ➔
>:[1·11·14·15·17·18·20·21·24·28·38·39·40·42·60·62·68·72·84·88·94·100·101·114·116·118]⚖[2·3·5·8·26·35·47·52·53·54·55·57·67·69·70·73·79·81·90·92·98·99·105·107·115·117] ➔
>:[2·11·31·67·89·118]⚖[20·37·41·74·90·100] ➔ >:0 =:+116 <:+100)
=:[10·29·39·66·68·74·76]⚖[25·32·61·65·85·90·112] ➔ >:-32 =:-7 <:-10)
<:[1·2·7·16·17·24·31·36·45·47·49·54·56·59·69·73·75·79·80·86·93·103·106·111·120]⚖[4·9·14·19·25·29·32·33·37·38·39·52·60·61·62·65·81·88·89·91·101·108·109·115·119] ➔ >:-39 =:+90 <:+81))
=:[4·9·13·15·18·21·30·32·36·39·40·42·46·50·52·57·58·60·61·63·69·73·75·76·79·80·82·84·91·98·99·102·110·111·114·116]⚖[2·3·5·7·12·16·22·24·25·28·29·35·41·43·45·47·49·51·54·55·64·67·70·71·81·83·88·94·95·97·100·101·105·115·118·120] ➔
>:[3·11·14·24·27·46·49·53·55·56·60·68·75·79·90·114·116·119]⚖[4·9·12·13·18·41·47·61·65·80·88·92·98·99·102·106·109·117] ➔ >:-12 =:-5 <:-24)
=:[1·2·10·11·13·15·20·23·27·29·33·34·39·46·54·58·61·69·74·78·79·82·83·84·90·91·99·100·101·105·111·118]⚖[3·4·5·6·7·19·21·22·26·28·30·31·35·37·41·45·47·49·67·72·76·77·80·86·95·103·104·108·109·114·117·120] ➔ >:-19 =:+93 <:-20)
<:[2·4·5·7·30·35·41·44·50·61·63·66·67·71·73·84·94·95]⚖[1·9·19·21·25·48·49·57·68·70·79·88·97·100·104·107·109·117] ➔ >:+94 =:+118 <:-30))
<:[3·16·17·19·23·25·27·34·37·39·41·43·46·48·51·54·55·56·62·67·71·75·81·82·85·87·95·109·111·112·113]⚖[2·6·9·12·15·18·24·30·38·40·42·57·60·65·68·69·73·76·84·86·89·92·94·99·100·103·104·107·110·116·119] ➔
>:[2·16·24·33·41·45·47·57·65·72·89·94·102·104·108·110·112·117]⚖[7·13·14·27·36·38·40·43·55·60·68·69·83·85·87·100·106·115] ➔ >:+112 =:+113 <:+87)
=:[15·34·40·43·44·55·58·63·68·94·95·100·118]⚖[3·8·17·33·42·62·65·83·86·88·106·108·114] ➔ >:-33 =:-4 <:+108)
<:[1·3·6·23·26·30·43·48·54·71·72·74·76·79·83·85·89·93·95·102·105·107·113]⚖[5·13·15·16·21·24·25·39·46·51·53·59·63·64·67·68·78·81·86·103·111·114·120] ➔ >:-25 =:+99 <:+86)))))
That works.
Or, I could solve a puzzle with 243 possibilites (the maximum possible with 5 weighings): 242 lighter-only balls, plus the possibility that no ball is odd:
do(Puzzle(242, 5, {-1, 0}))
[1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15·16·17·18·19·20·21·22·23·24·25·26·27·28·29·30·31·32·33·34·35·36·37·38·39·40·41·42·43·44·45·46·47·48·49·50·51·52·53·54·55·56·57·58·59·60·61·62·63·64·65·66·67·68·69·70·71·72·73·74·75·76·77·78·79·80·81]⚖[162·163·164·165·166·167·168·169·170·171·172·173·174·175·176·177·178·179·180·181·182·183·184·185·186·187·188·189·190·191·192·193·194·195·196·197·198·199·200·201·202·203·204·205·206·207·208·209·210·211·212·213·214·215·216·217·218·219·220·221·222·223·224·225·226·227·228·229·230·231·232·233·234·235·236·237·238·239·240·241·242] ➔
>:[2·3·5·8·16·17·20·21·22·31·34·37·38·43·45·47·48·49·51·52·53·58·61·67·71·72·73·74·76·79·80·84·85·91·95·96·99·102·115·120·121·123·125·127·129·132·135·139·140·146·148·155·159·161·164·171·172·177·181·182·184·185·188·189·190·195·204·206·207·211·213·214·215·220·224·225·230·231·234·235·240]⚖[1·9·10·11·12·14·19·24·26·27·32·33·36·46·54·55·57·64·66·68·69·75·78·81·82·83·86·87·88·90·93·98·101·103·105·106·109·110·113·114·117·118·119·122·128·130·133·141·142·143·144·145·152·153·163·165·167·175·176·178·179·180·187·191·192·193·197·199·201·202·208·210·216·219·222·226·227·233·239·241·242] ➔
>:[2·3·4·18·20·23·26·27·35·36·37·39·44·49·50·58·60·62·66·68·73·75·79·81·82·83·89·90·97·101·103·106·108·116·124·128·132·135·136·137·138·141·144·149·154·155·160·165·174·178·180·182·187·192·193·197·198·206·207·209·211·217·218·221·232·237·238·239·241]⚖[1·5·9·10·11·12·13·16·17·19·22·29·30·41·45·46·47·56·65·70·74·77·80·84·86·88·96·102·109·114·115·119·120·125·126·133·134·143·148·151·153·157·161·162·163·167·169·172·181·183·188·190·191·194·196·199·201·203·205·210·213·214·222·224·227·228·231·240·242] ➔
>:[1·8·14·17·18·20·22·26·37·42·45·48·49·50·55·58·64·67·69·70·71·72·77·78·82·83·86·87·93·96·98·102·104·105·110·117·119·120·126·132·133·135·138·140·142·143·147·149·151·155·156·158·160·166·167·169·171·173·175·178·182·184·185·191·192·196·202·216·220·221·223·226·227·235·236·238·241]⚖[3·4·5·7·9·12·13·15·16·19·27·28·29·31·34·35·38·39·43·47·51·56·63·65·68·79·84·89·90·91·94·97·99·103·108·111·115·116·122·127·129·130·134·139·141·145·146·150·152·159·161·163·164·165·170·172·174·177·179·181·186·193·194·198·199·200·203·206·207·209·210·212·215·219·228·234·240] ➔
>:[7·24·27·29·37·39·47·53·54·59·64·76·93·95·116·122·133·142·146·153·155·158·177·210·213·220]⚖[17·31·36·40·43·58·73·88·101·104·107·112·118·131·136·145·151·156·159·163·168·175·179·200·202·230] ➔ >:-163 =:-199 <:-210)
=:[3·8·10·17·20·21·22·25·28·43·45·49·51·54·79·89·101·112·117·119·120·128·131·134·152·167·170·177·182·193·196·200·203·205·206·210·214·219·222·223·230·237·240·241]⚖[6·11·18·27·55·56·61·66·70·71·74·76·80·91·96·99·102·106·110·113·118·123·127·130·133·141·142·155·157·160·166·183·188·201·204·208·215·217·224·225·228·231·233·235] ➔ >:-201 =:-242 <:-222)
<:[14·20·36·37·46·66·82·114·128·132·139·144·167·189·194·206·208·212·217·220·221·226·231·232]⚖[10·11·13·16·40·41·53·69·74·75·76·90·98·100·124·135·146·161·170·172·184·198·202·227] ➔ >:-227 =:-191 <:-167))
=:[2·4·14·20·24·30·36·37·43·45·48·50·51·52·56·58·59·61·68·69·70·71·74·75·78·85·90·94·103·105·106·116·121·122·130·133·134·135·136·141·145·146·150·152·159·164·172·175·176·177·181·182·188·192·200·201·205·208·215·227·241]⚖[5·6·10·11·12·17·21·23·25·31·38·42·47·53·62·66·72·79·80·82·83·86·92·93·96·111·113·115·117·118·119·120·126·129·131·153·154·155·157·161·162·165·168·170·173·179·183·186·187·193·199·214·216·221·225·226·232·234·237·238·240] ➔
>:[2·6·15·54·60·80·94·97·99·103·104·108·109·118·119·139·145·149·154·162·164·169·178·190·211·223·226]⚖[7·16·17·22·26·50·56·61·73·77·85·89·96·100·105·107·113·122·148·161·166·179·187·202·213·235·239] ➔ >:-179 =:-216 <:-226)
=:[5·8·43·50·87·107·122·123·124·137·157·165·173·179·185·186·190·194·197·214·219·223·224·232]⚖[18·21·39·40·48·52·70·74·92·94·97·100·102·106·131·138·145·156·161·182·183·191·200·202] ➔ >:-202 =:-233 <:-219)
<:[5·12·28·32·45·51·59·60·68·69·74·75·78·87·90·92·94·96·101·117·120·122·127·145·152·153·162·167·171·175·177·190·213·223·227]⚖[4·23·33·38·47·55·62·88·93·97·102·113·118·130·140·143·150·157·159·160·168·172·181·184·185·188·192·204·208·209·211·215·224·225·242] ➔ >:-208 =:-176 <:-175))
<:[1·3·7·13·17·20·23·34·35·41·46·48·49·64·66·70·71·77·84·87·88·99·101·113·133·134·148·152·153·162·163·168·175·180·185·187·196·197·210·217·222·223·226·227·238·240]⚖[5·10·16·22·26·50·54·58·72·73·74·83·89·91·97·112·119·121·124·125·128·129·130·135·144·146·147·158·160·164·165·167·170·172·173·174·177·178·184·192·200·213·218·229·234·242] ➔
>:[16·17·42·81·89·112·115·130·144·166·178·185·201·219·234·235]⚖[1·26·53·56·78·91·106·113·122·136·145·148·152·165·214·216] ➔ >:-165 =:-192 <:-178)
=:[23·33·37·42·51·68·82·85·108·111·134·147·152·158·165·183·184·191·213·226·235·239·242]⚖[5·13·25·57·78·102·106·107·118·151·162·173·178·186·187·196·197·208·227·229·233·237·241] ➔ >:-241 =:-193 <:-239)
<:[16·19·25·48·51·63·68·74·105·110·120·128·131·133·147·148·157·164·189·193·196·197·210·217·236·242]⚖[2·14·17·24·33·37·70·80·84·92·101·104·117·121·127·132·144·159·161·170·180·209·211·216·219·238] ➔ >:-180 =:-187 <:-197)))
=:[4·5·6·8·9·10·11·12·13·14·17·27·41·44·46·48·49·54·55·60·61·72·73·74·75·76·79·80·82·87·89·94·103·108·113·117·120·124·125·130·131·133·137·139·140·146·147·148·149·152·154·156·157·160·161·166·168·171·183·185·186·188·189·194·197·199·201·207·208·209·212·221·225·231·237·240·241·242]⚖[3·7·18·19·22·24·25·26·32·33·35·36·37·47·51·56·58·62·65·71·77·81·88·90·92·93·95·96·98·101·102·104·106·109·110·111·115·118·119·123·127·134·135·142·143·150·153·162·163·164·165·173·174·175·178·179·180·184·190·204·205·211·213·214·216·218·219·220·222·223·226·227·228·229·232·234·235·239] ➔
>:[1·4·5·7·9·11·12·14·17·18·20·28·29·33·34·35·39·41·42·43·45·49·51·53·59·62·64·69·74·78·79·84·89·90·94·100·104·111·115·128·130·134·136·137·138·139·146·149·152·155·162·165·166·167·172·173·181·184·187·189·191·193·195·205·207·209·212·214·224·227·231·233·234·236·242]⚖[19·22·24·30·32·40·44·54·56·60·61·63·65·66·68·70·76·81·86·87·92·93·95·98·102·103·107·114·117·118·119·120·121·124·125·126·127·131·132·133·135·140·141·142·143·144·147·150·151·154·157·161·163·164·176·178·179·182·190·194·197·200·210·213·215·219·221·223·225·229·232·237·239·240·241] ➔
>:[11·30·37·41·51·53·59·71·74·85·88·115·122·124·128·136·144·149·157·162·167·180·184·193·201·217·223·225·235]⚖[3·7·9·12·28·42·45·46·52·56·62·65·67·84·93·95·101·120·123·139·166·183·186·189·191·192·205·229·230] ➔ >:-229 =:-232 <:-223)
=:[5·8·9·16·17·23·27·34·40·47·48·72·76·84·91·94·100·104·111·113·131·132·144·150·152·162·167·174·175·176·178·181·191·198·204·212·219·220·224·225·231·235·238·240]⚖[3·7·12·18·24·28·37·42·43·45·54·66·74·87·90·106·107·108·112·119·122·128·130·135·143·151·153·173·180·183·187·195·200·207·211·215·216·217·218·221·223·226·239·242] ➔ >:-218 =:-228 <:-174)
<:[3·11·13·26·34·35·48·53·55·59·60·78·87·88·102·104·114·121·126·131·139·151·154·162·167·172·175·178·188·191·212·213·214·218·229·232·239]⚖[5·7·12·18·23·37·45·46·50·56·62·65·66·84·90·96·105·123·124·129·136·144·147·150·152·159·182·186·198·201·205·215·216·217·228·234·236] ➔ >:-205 =:-173 <:-162))
=:[6·7·9·11·22·29·33·34·35·36·40·45·48·50·54·57·59·60·62·71·75·76·77·78·86·97·101·108·118·120·123·125·128·133·134·139·145·147·148·151·155·160·163·166·167·170·171·177·183·185·188·189·192·193·197·198·200·201·209·210·213·214·221·223·226·229·232·234]⚖[1·3·4·12·18·19·20·25·27·30·31·41·46·49·63·65·68·69·72·73·82·89·92·93·94·98·99·100·110·111·112·113·114·115·116·122·126·131·132·140·143·144·146·149·150·152·156·157·159·162·172·176·179·184·187·190·199·203·206·207·208·215·217·219·220·227·236·237] ➔
>:[24·27·29·37·39·41·50·65·74·76·83·86·91·93·99·120·122·126·129·134·140·141·156·172·190·191·193·197·199·217·224·226·241]⚖[1·8·10·12·13·31·32·33·45·47·60·67·70·71·73·75·114·115·119·121·128·132·135·136·143·145·148·154·171·185·186·203·240] ➔ >:-203 =:-236 <:-217)
=:[4·15·18·38·57·59·66·69·74·84·101·105·111·133·139·147·172·196·199·207·216]⚖[16·25·30·33·42·43·49·54·81·103·128·163·176·182·203·204·213·224·228·229·238] ➔ >:-238 =:-169 <:-196)
<:[9·17·27·34·41·44·60·67·117·118·122·166·198·201·209·225]⚖[20·25·31·35·107·121·123·133·148·184·200·207·210·217·219·237] ➔ >:-200 =:-170 <:-198))
<:[9·10·12·16·20·28·30·33·35·36·37·40·41·44·45·49·56·62·64·66·67·72·73·78·85·86·93·97·99·102·103·105·108·110·117·118·138·141·146·149·152·155·157·162·165·169·171·173·175·178·179·180·182·183·184·185·186·195·196·201·209·210·215·216·223·229·235·240·242]⚖[7·14·15·17·18·22·25·31·34·42·43·47·55·59·61·68·70·71·75·76·77·81·89·90·91·104·106·107·109·113·115·119·120·124·127·128·131·135·143·144·148·153·154·158·160·163·164·166·168·170·172·174·190·192·198·202·203·204·208·217·224·225·226·232·233·236·237·238·239] ➔
>:[16·20·24·31·34·44·45·48·51·52·78·82·85·108·109·136·143·164·166·169·179·192·212·214·216·217·227·228·238·241·242]⚖[5·12·55·67·71·75·77·89·91·100·111·116·126·132·137·138·153·159·160·168·186·188·195·197·211·215·221·225·230·231·235] ➔ >:-168 =:-237 <:-166)
=:[4·7·26·30·58·62·63·73·125·129·154·165·170·183·193·195·205·212·217·231·237]⚖[2·8·34·40·46·71·83·132·162·169·172·174·188·194·197·200·204·224·235·236·239] ➔ >:-194 =:-221 <:-212)
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<:[4·7·9·10·13·16·18·21·23·24·26·27·30·32·35·44·45·47·60·62·63·77·78·79·82·83·85·87·91·93·96·100·107·108·112·113·114·115·118·139·140·141·146·151·155·156·157·158·164·166·167·168·171·173·178·182·185·189·196·197·200·204·208·209·210·214·215·217·219·225·229·237]⚖[5·17·19·22·25·36·38·39·41·46·48·50·64·68·70·71·72·74·76·80·81·86·88·92·101·102·106·109·110·111·121·124·126·127·131·134·135·142·143·145·148·149·150·153·159·161·162·165·169·177·179·181·183·184·186·188·190·193·195·202·203·205·207·216·218·227·228·234·235·236·241·242] ➔
>:[3·5·6·7·8·9·11·18·21·22·36·39·43·49·50·51·53·62·80·81·86·93·100·104·105·111·118·120·121·125·144·145·172·197·199·204·206·207·223·234·235·238]⚖[13·14·16·20·23·24·38·40·44·60·67·69·70·79·90·91·96·98·108·109·114·119·131·135·140·142·143·150·151·155·159·176·177·178·180·184·186·188·203·210·237·241] ➔
>:[4·9·27·29·41·48·53·57·59·76·80·94·99·100·135·139·141·145·146·150·162·166·172·177·182·185·192·195·214·228·233]⚖[1·25·37·40·54·62·65·66·82·93·111·114·125·128·131·133·140·142·158·171·174·178·179·180·184·208·213·215·218·225·231] ➔ >:-184 =:-188 <:-177)
=:[2·25·28·33·45·47·60·61·73·86·101·120·125·140·144·146·155·159·161·165·171·172·181·191·192·215·219·234·236·240]⚖[13·14·17·18·19·29·34·46·62·67·80·81·90·91·99·115·117·128·142·174·176·190·194·197·210·223·231·232·235·237] ➔ >:-190 =:-195 <:-181)
<:[50·58·60·67·85·96·103·133·134·142·153·168·174·187·189·197·202·205·210·218·234·242]⚖[10·13·28·35·45·57·62·63·68·70·87·92·117·140·179·198·201·207·212·221·223·225] ➔ >:-207 =:-235 <:-234))
=:[2·4·9·13·16·18·25·27·28·34·40·54·58·60·63·65·70·75·76·81·84·85·88·93·97·99·101·103·104·105·117·121·124·144·149·156·158·166·174·178·182·186·193·198·201·205·206·213·214·217·218·222·224·234·238]⚖[1·5·8·15·20·21·22·26·31·32·35·47·49·55·56·61·62·69·79·82·83·86·94·96·98·111·114·116·119·123·125·129·130·136·139·141·145·150·152·153·155·157·172·175·180·184·188·191·194·208·229·230·237·239·240] ➔
>:[1·15·64·82·96·101·105·135·143·145·147·157·160·172·176·182·189·192·194·198·227·242]⚖[12·20·21·36·42·48·62·65·75·84·87·95·99·103·115·126·142·148·164·183·230·235] ➔ >:-230 =:-240 <:-172)
=:[3·11·12·14·16·23·62·63·71·94·97·99·101·127·138·145·150·151·155·156·167·168·170·180·187·195·204·208·218·222·224·225·229·231·234·238]⚖[6·9·22·24·28·29·30·39·40·47·53·55·59·60·70·72·87·107·120·129·134·135·143·144·146·157·179·182·184·185·206·215·220·227·237·242] ➔ >:-220 =:-211 <:-231)
<:[8·11·14·31·35·46·50·51·52·61·64·82·103·121·129·132·145·146·147·154·157·173·183·189·194·199·206·214·216·225·230·233]⚖[25·29·33·54·66·70·78·79·93·96·99·111·114·120·125·128·134·139·142·148·152·160·166·167·186·197·200·213·228·229·239·241] ➔ >:-213 =:-224 <:-206))
<:[1·9·13·26·27·28·29·35·39·45·47·49·59·69·73·74·75·82·83·84·85·91·95·96·98·100·101·104·108·109·111·115·123·126·127·129·134·136·137·138·139·140·151·153·158·160·166·167·175·180·186·195·199·203·204·207·215·217·218·223·225·227·231·236·238·239·240·241]⚖[3·4·6·11·12·17·18·20·21·23·30·37·38·42·50·51·56·60·62·63·67·70·72·80·90·97·105·107·110·114·118·120·121·124·128·132·146·147·149·150·154·155·165·170·171·173·174·179·182·183·184·190·191·194·200·206·208·209·211·213·214·216·219·222·226·229·234·235] ➔
>:[6·9·21·40·48·57·78·79·105·106·109·124·132·141·145·154·156·166·167·171·177·178·188·190·206·216]⚖[17·20·24·29·31·32·70·77·82·85·101·115·119·131·136·137·140·152·173·182·208·210·213·220·230·237] ➔ >:-182 =:-214 <:-171)
=:[13·18·26·31·33·35·88·106·122·129·139·142·165·176·177·182·185·193·194·214·229·239]⚖[23·37·39·45·51·53·54·73·80·90·104·119·124·126·132·134·161·168·189·203·219·221] ➔ >:-189 =:-164 <:-185)
<:[7·23·48·50·55·63·79·86·97·100·106·109·110·111·114·140·147·156·178·191·206·207·211·223·225·236·241]⚖[1·3·12·16·35·36·43·61·77·81·85·99·102·112·122·123·139·145·176·177·179·189·204·221·222·224·234] ➔ >:-204 =:-215 <:-225))))
=:[14·15·17·18·20·21·28·37·38·42·50·51·52·54·55·56·57·58·60·62·76·77·78·84·86·87·89·93·100·104·107·109·113·115·122·123·125·126·128·131·139·141·142·143·144·145·147·156·158·161·166·167·168·173·184·191·195·198·200·202·203·209·210·216·222·227·232·233·237·238·239·240·241·242]⚖[1·3·4·9·11·12·22·23·24·25·27·30·33·36·39·45·63·64·66·67·68·69·70·71·79·83·90·91·92·94·95·97·98·99·102·103·105·108·110·112·114·116·118·119·124·133·134·136·137·146·151·157·162·163·169·170·175·178·181·182·183·187·189·190·201·206·211·213·215·221·226·231·234·235] ➔
>:[2·3·4·15·29·30·33·35·37·46·48·58·63·72·78·80·87·88·90·99·101·103·106·107·115·119·120·127·129·133·134·136·137·143·145·148·151·155·163·164·165·168·170·177·180·182·189·191·198·205·220·225·227·229·232·234·236·241·242]⚖[20·22·26·28·31·32·36·38·42·44·49·52·53·56·64·74·79·82·83·84·86·91·92·93·95·98·104·112·114·117·118·128·131·135·138·139·150·157·159·160·169·171·174·175·179·185·192·201·208·211·214·216·217·219·221·228·238·239·240] ➔
>:[14·20·24·28·40·42·52·53·57·64·65·69·70·79·83·89·95·96·97·99·109·114·115·128·131·134·138·142·143·145·147·149·150·151·160·167·171·176·178·184·185·187·188·190·196·209·222·227·228·229·230·238]⚖[5·10·17·26·27·38·44·46·50·51·55·56·63·67·68·78·82·93·98·100·104·110·112·117·118·120·125·127·132·137·144·146·152·154·156·159·161·162·164·166·172·177·182·195·197·198·211·219·220·231·235·242] ➔
>:[21·57·74·118·127·150·153·191·201·217·226]⚖[7·30·75·79·93·112·120·144·193·219·230] ➔ >:-112 =:-98 <:-118)
=:[7·10·13·21·22·32·40·42·49·72·74·76·82·86·92·102·111·114·119·120·124·126·129·136·150·154·159·165·167·169·170·172·176·184·188·196·198·204·218·220·224·227·229·234·236·237·242]⚖[3·4·5·14·17·19·26·29·33·34·38·44·50·52·56·58·62·63·68·69·79·81·88·89·91·107·110·115·117·127·134·138·139·143·149·152·161·173·175·183·207·208·209·212·216·217·240] ➔ >:-91 =:-157 <:-92)
<:[3·114·127·134·138·172·180·187·195]⚖[56·95·105·188·198·200·204·224·225] ➔ >:-95 =:-83 <:-114))
=:[18·20·21·29·56·73·74·82·89·93·97·100·101·103·110·119·130·134·146·151·157·163·174·178·179·180·181·189·196·204·206·208·211·213·225·231·241]⚖[8·10·16·17·27·32·44·49·54·59·61·72·80·81·94·96·102·106·115·116·117·128·137·139·153·164·173·176·177·194·197·205·212·216·222·230·237] ➔
>:[12·14·19·20·24·26·28·35·49·50·61·70·78·85·97·108·110·111·116·120·123·126·133·134·164·166·176·179·181·200·214·215·219·220·221·226·232·235·242]⚖[9·15·29·30·41·45·59·60·63·64·66·68·81·82·86·88·92·99·101·102·103·106·113·135·138·151·154·177·180·183·184·189·195·224·225·228·231·234·239] ➔ >:-102 =:-94 <:-116)
=:[6·9·10·21·36·38·47·52·55·58·66·69·70·101·108·114·141·142·202·211·213·218·224·228·233·240·241]⚖[12·14·20·26·32·34·39·59·73·79·87·90·103·105·106·122·125·126·127·129·144·151·167·173·196·223·234] ➔ >:-105 =:-124 <:-108)
<:[8·11·15·24·30·39·47·52·62·74·79·81·91·93·97·102·104·119·120·124·149·155·158·164·167·170·186·198·209·217·229]⚖[2·9·10·18·28·31·32·38·40·41·48·61·71·73·90·94·125·131·143·145·146·176·193·194·205·213·219·223·233·237·240] ➔ >:-146 =:-110 <:-97))
<:[6·14·16·24·29·33·35·41·49·59·64·71·74·82·85·91·92·94·95·96·103·114·115·126·129·131·134·137·139·141·143·152·156·158·160·162·163·166·174·175·180·186·187·191·196·197·210·212·220·222·229·234·235·237·238·240]⚖[1·3·10·17·21·30·31·36·39·45·48·51·56·58·60·61·66·67·72·73·77·83·86·93·97·99·104·109·110·112·116·117·118·119·123·124·125·128·132·136·144·148·159·167·168·171·172·181·185·207·208·217·223·230·232·239] ➔
>:[3·11·12·13·17·19·24·30·36·37·42·46·47·49·57·71·72·96·99·104·106·109·124·126·132·142·157·163·172·198·201·203·206·209·217·218·219·220·221·229·234·236]⚖[4·5·9·18·26·29·31·40·43·58·60·63·67·74·95·110·118·127·130·131·133·134·136·145·148·154·155·156·158·159·161·162·164·165·166·168·182·187·208·213·214·226] ➔ >:-136 =:-119 <:-99)
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<:[24·25·42·45·61·64·67·73·75·85·88·110·114·118·126·132·137·146·149·151·158·162·163·173·178·189·198·204·216·217·225]⚖[1·2·11·13·28·32·51·52·59·78·83·94·97·102·105·107·119·127·134·154·161·165·185·202·211·213·220·222·229·231·233] ➔ >:-134 =:-103 <:-137)))
=:[2·4·5·6·8·9·10·12·14·15·18·19·21·22·26·27·31·32·36·42·44·45·50·53·56·63·67·68·73·74·75·78·79·81·82·86·93·96·97·98·105·109·111·115·118·124·128·137·140·142·145·148·153·154·155·157·159·162·166·170·175·176·180·183·184·187·192·195·199·209·214·217·219·221·222·223·231·233·235·238]⚖[11·13·20·25·33·35·37·39·40·43·46·47·49·52·54·55·57·58·59·60·61·62·64·65·71·76·80·83·84·87·88·89·90·95·100·106·107·110·116·117·120·125·127·131·132·133·135·136·138·139·144·150·151·158·164·165·167·168·169·171·178·181·189·191·193·197·200·201·206·207·208·215·216·225·226·227·230·239·240·241] ➔
>:[1·11·13·16·23·28·31·38·40·43·44·45·47·48·49·50·58·65·66·73·76·79·81·83·85·88·96·97·99·100·101·105·107·108·116·118·124·130·133·134·136·138·144·145·147·150·159·161·166·168·169·170·175·184·189·192·193·194·195·200·202·216·217·219·221·222·223·225·228·229·235·238·240·241]⚖[3·5·7·10·15·19·20·24·26·27·29·37·39·41·42·52·53·56·60·64·67·69·75·78·80·82·90·92·98·103·106·110·111·112·113·114·115·119·120·122·125·126·131·132·137·140·142·152·156·157·158·162·163·171·176·178·182·187·188·190·196·198·205·208·210·215·218·220·224·226·227·230·237·239] ➔
>:[23·51·60·66·80·103·105·112·114·132·142·159·176·179·201·217·223·233·234·236]⚖[14·48·79·88·97·101·102·104·120·124·137·144·169·177·200·215·218·225·232·239] ➔ >:-120 =:-106 <:-132)
=:[1·7·12·14·20·34·35·36·49·51·57·76·92·93·95·120·122·135·144·146·151·157·159·162·169·174·180·189·190·206·223·225·234·239·240]⚖[3·13·17·23·27·28·45·50·56·65·66·68·78·79·84·87·112·114·117·118·133·134·138·141·149·156·163·172·185·191·192·199·204·205·218] ➔ >:-117 =:-127 <:-135)
<:[2·12·21·31·33·34·70·81·86·88·101·105·109·110·115·117·123·124·125·129·131·133·149·156·159·165·195·203·211·215·216·220·225·237·239·241·242]⚖[10·16·23·35·45·52·56·57·61·64·68·69·72·98·108·119·120·134·137·138·140·143·144·155·157·161·164·168·179·182·185·187·190·191·204·224·228] ➔ >:-138 =:-150 <:-88))
=:[4·7·11·12·16·25·26·33·43·49·50·55·56·58·67·70·71·73·74·92·93·95·97·98·100·101·105·107·117·130·140·145·147·148·149·153·154·156·159·173·174·178·187·188·208·212·214·216·230·234·238·239]⚖[1·3·10·19·23·36·37·44·45·47·52·53·54·57·59·62·63·65·66·76·77·81·85·90·91·103·119·127·128·129·134·142·151·152·158·161·163·166·179·182·192·193·194·200·201·205·218·231·232·235·237·241] ➔
>:[40·55·68·73·75·77·85·88·94·95·98·110·121·135·159·186·197·214·229·238]⚖[32·42·43·57·62·86·87·113·117·133·152·170·173·184·192·193·196·205·211·215] ➔ >:-152 =:-129 <:-85)
=:[9·11·27·29·31·36·38·43·44·45·46·48·53·66·70·71·88·93·99·104·106·113·114·118·120·121·124·126·129·131·137·148·151·155·161·162·165·166·167·170·171·173·177·181·182·189·190·192·198·207·212·218·222·234·238·240]⚖[2·3·7·8·10·12·13·14·19·21·22·23·34·55·60·64·69·73·74·81·82·83·89·90·91·94·98·101·107·115·123·135·136·140·141·143·149·156·160·163·164·168·180·186·187·191·196·199·202·208·220·224·226·228·229·242] ➔ >:-160 =:0 <:-121)
<:[8·9·13·20·26·28·29·34·38·48·51·54·58·78·81·88·92·99·105·111·112·116·120·122·128·130·131·136·146·147·153·160·165·168·170·178·188·189·193·202·205·208·212·213·214·222·228·231·239·241]⚖[2·5·7·10·31·33·52·61·62·63·65·66·68·75·79·82·83·87·89·95·98·100·102·107·114·119·126·127·149·158·161·169·174·176·184·190·201·206·207·209·210·216·219·220·225·226·233·234·240·242] ➔ >:-149 =:-101 <:-130))
<:[1·8·15·17·21·23·28·30·34·36·42·46·64·70·76·79·82·89·93·102·107·112·114·115·116·117·133·138·141·146·148·157·159·161·165·176·185·186·190·194·201·203·204·208·211·212·214·216·220·224·228·230·233·237·240]⚖[2·10·14·16·19·22·25·31·40·43·47·56·59·62·67·68·69·71·72·73·77·83·85·87·88·90·91·96·98·100·103·104·105·108·119·121·128·129·144·150·151·153·154·160·162·173·174·182·198·199·202·218·221·223·234] ➔
>:[4·11·28·52·55·57·60·89·96·98·123·152·176·178·183·198·220·226]⚖[3·8·21·22·29·39·42·54·61·80·84·107·132·148·154·164·231·233] ➔ >:-154 =:-153 <:-96)
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<:[3·4·5·14·17·18·22·25·40·42·52·57·65·66·75·76·78·82·92·94·99·110·126·127·128·132·134·145·146·150·153·157·158·162·166·180·206·210·211·225·227·240]⚖[1·2·8·16·19·23·30·33·41·47·55·56·61·64·70·73·85·95·96·106·107·125·129·142·148·151·164·171·173·176·182·183·187·193·195·198·200·208·215·218·230·239] ➔ >:-148 =:-159 <:-82)))
<:[5·8·9·15·16·27·28·32·43·46·50·54·55·59·61·63·65·74·75·78·79·81·89·90·91·96·100·108·115·117·122·123·124·125·127·130·131·132·143·146·148·156·159·160·162·164·169·171·173·176·179·181·182·196·198·200·201·202·208·210·215·218·219·222·223·224·234·239·242]⚖[1·3·4·7·12·22·29·33·35·36·38·39·42·48·52·57·58·64·67·68·72·80·83·84·85·86·87·88·93·94·97·98·99·102·107·111·113·121·126·133·137·141·144·153·163·167·170·172·184·185·187·188·192·193·195·199·203·205·206·207·209·211·212·221·225·231·232·236·237] ➔
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=:[9·43·54·81·97·106·130·144·145·147·148·149·177·197·199·201·202·209·217·236·241]⚖[1·3·24·29·32·36·37·44·70·72·79·83·86·95·133·139·163·179·200·210·211] ➔ >:-86 =:-84 <:-144)
<:[5·17·22·23·31·34·43·45·46·51·63·64·66·70·74·81·87·90·106·112·114·116·121·124·129·134·137·144·145·155·164·170·171·176·179·180·184·185·188·203·206·209·214·216·219·239·242]⚖[3·4·7·13·21·30·32·36·39·40·48·56·59·60·73·77·79·91·93·96·105·107·126·132·136·147·149·151·153·154·156·161·165·174·177·181·183·189·192·205·207·211·212·220·235·236·237] ➔ >:-107 =:-141 <:-87))
=:[1·4·7·10·13·21·22·23·27·29·35·38·39·40·42·44·49·50·61·62·63·64·67·72·81·82·84·85·87·88·90·112·114·117·118·121·125·133·139·144·147·149·157·159·161·168·174·176·177·178·181·183·187·190·191·192·197·198·199·201·203·209·212·220·225·226·235]⚖[2·6·8·12·14·15·17·20·25·26·32·36·43·45·46·51·56·58·65·69·73·74·75·76·77·83·94·98·106·109·111·122·132·135·136·138·140·142·143·146·148·151·152·154·156·158·164·166·171·175·180·185·188·193·194·204·205·208·216·217·218·228·231·233·238·240·242] ➔
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<:[50·70·84·130·161·182·197·238]⚖[39·42·44·54·109·139·230·231] ➔ >:-139 =:-147 <:-161))
<:[7·10·11·21·38·43·52·61·64·65·66·72·88·96·97·114·115·118·120·122·124·126·130·131·147·150·182·185·189·193·196·199·204·215·224·235·239]⚖[2·6·13·20·25·29·36·40·41·44·45·68·73·74·76·79·91·109·123·125·127·135·137·139·143·160·164·170·174·177·178·184·202·231·233·237·242] ➔
>:[2·5·10·14·18·21·25·28·37·44·47·56·65·68·75·79·82·86·92·95·101·103·110·117·123·127·133·135·142·144·145·151·165·182·184·189·199·201·205·208·220·224·235·236]⚖[16·20·22·27·33·34·39·41·50·60·61·66·72·81·93·98·111·119·121·131·139·141·143·148·150·160·161·164·173·178·187·193·195·207·209·210·211·213·228·229·230·232·238·239] ➔ >:-143 =:-125 <:-123)
=:[6·38·51·54·57·63·64·69·75·77·103·104·117·122·128·129·142·152·153·156·163·167·173·188·206·224·226·231·236]⚖[5·10·12·14·21·22·32·47·55·89·92·106·107·109·115·125·127·130·138·139·180·184·186·202·204·211·220·233·238] ➔ >:-89 =:-100 <:-156)
<:[9·19·28·30·47·54·57·62·63·66·70·72·77·79·80·81·82·88·89·99·109·112·114·120·122·125·128·139·148·156·160·170·175·178·179·187·189·193·194·204·206·214·223·233]⚖[8·12·16·18·21·27·37·38·49·52·56·58·60·64·84·98·104·110·115·119·127·135·141·144·145·146·147·152·162·164·168·174·180·183·190·202·216·224·228·231·232·237·239·240] ➔ >:-115 =:-131 <:-122))))
<:[1·2·4·8·9·11·12·20·25·27·30·31·32·35·36·40·45·51·54·56·58·62·63·66·72·79·80·82·84·86·92·104·119·124·137·140·141·142·144·148·151·154·158·159·162·163·167·168·170·171·173·175·179·182·183·185·187·193·195·199·200·201·203·204·213·215·216·219·220·223·226·228·231·234·239·242]⚖[5·10·15·19·21·29·37·38·39·43·46·50·52·53·55·59·64·67·68·69·70·71·73·74·76·77·81·87·88·90·91·94·97·98·101·103·106·107·109·111·113·129·131·133·135·136·138·143·145·149·156·157·164·165·169·174·177·178·186·190·192·194·197·198·202·208·212·221·222·224·225·229·233·235·237·240] ➔
>:[1·3·10·12·20·23·27·28·29·31·32·35·41·45·48·49·50·52·53·56·62·64·68·73·74·75·78·83·87·92·98·99·100·104·107·108·116·118·119·123·124·126·132·139·144·149·159·160·165·166·172·176·178·183·184·186·187·193·194·195·199·207·220·221·222·223·229·230·235·236·240]⚖[4·5·11·13·14·17·19·22·24·26·33·38·40·43·44·47·55·67·70·71·72·77·80·89·90·91·97·109·122·125·128·129·135·137·143·146·153·154·157·161·167·168·169·173·174·181·182·185·188·190·191·197·203·204·205·206·210·211·212·213·218·219·224·225·228·231·232·237·238·241·242] ➔
>:[2·3·6·9·13·15·19·31·32·46·48·49·53·56·58·61·66·67·68·69·72·74·76·77·79·85·86·88·99·100·105·106·107·108·111·115·119·120·121·127·131·132·134·141·154·155·166·168·173·190·191·192·193·194·195·197·203·206·208·214·217·219·222·224·228·235·236]⚖[4·5·7·10·18·21·26·27·28·33·34·42·50·51·52·55·59·65·71·78·80·81·82·92·93·96·101·102·110·113·122·125·130·135·137·140·147·151·152·159·161·162·164·165·171·172·174·176·179·182·188·189·196·205·207·209·211·212·216·218·227·229·231·232·234·239·241] ➔
>:[71·81·129·131·173·185·201]⚖[51·55·76·82·109·204·206] ➔ >:-55 =:-5 <:-71)
=:[5·20·22·27·43·49·50·66·68·69·72·74·80·82·89·95·100·116·133·136·139·160·163·176·188·191·196·210·211·218·226·234·236]⚖[2·17·38·39·57·59·60·61·83·106·112·114·129·135·143·148·152·156·162·166·173·175·206·209·213·214·216·217·222·223·224·225·232] ➔ >:-38 =:-70 <:-43)
<:[3·12·22·28·32·44·70·77·83·122·145·162·182·198·200·205·206]⚖[4·45·51·67·68·72·75·86·181·190·197·202·214·216·230·238·242] ➔ >:-67 =:-19 <:-77))
=:[3·5·6·19·21·26·33·34·35·39·47·48·52·57·59·71·100·104·107·118·120·122·123·128·129·141·150·162·164·166·170·177·188·194·195·197·201·202·211·214·219·220·223·224·228·230·231·233·237·240·241]⚖[2·7·10·22·23·24·25·27·37·42·51·65·70·72·76·80·81·86·91·96·98·99·105·110·112·117·124·131·136·139·140·143·146·151·153·158·159·160·167·179·180·181·187·190·192·205·207·208·216·226·238] ➔
>:[6·10·26·30·32·37·39·47·60·66·75·94·97·119·137·153·196·197·232]⚖[3·4·7·15·27·42·54·64·81·92·102·116·143·162·163·175·182·186·209] ➔ >:-81 =:-76 <:-37)
=:[2·21·31·35·54·55·69·96·101·155·158·160·166·183·186·201·215·222·223·240]⚖[8·15·16·25·30·51·53·57·80·97·107·114·148·165·173·180·194·200·206·212] ➔ >:-15 =:-46 <:-69)
<:[6·13·14·40·44·51·52·59·98·100·111·113·120·127·143·148·159·161·164·166·171·177·181·207·226]⚖[28·32·39·48·55·67·71·76·90·91·95·124·133·146·152·155·158·168·190·196·197·222·223·240·241] ➔ >:-39 =:-21 <:-59))
<:[18·19·25·34·35·36·40·43·48·50·52·54·56·58·73·77·85·92·94·118·119·125·146·148·153·162·164·166·167·168·172·177·180·181·182·191·192·201·205·206·209·215·216·219·220·226·227·230·238·242]⚖[1·6·20·22·28·29·30·41·49·51·53·63·72·74·78·87·89·96·98·101·102·103·106·107·111·114·116·124·133·135·136·137·141·149·161·169·173·174·176·178·186·193·194·195·203·210·224·228·231·241] ➔
>:[1·2·18·21·22·32·36·44·46·48·51·57·59·60·61·67·74·77·80·82·83·95·98·99·101·107·110·114·116·120·128·138·141·145·154·169·192·194·195·196·209·219·231]⚖[8·9·20·27·29·30·38·40·54·63·66·69·81·84·90·92·93·96·113·115·117·121·126·131·136·160·167·176·190·197·207·210·211·212·214·216·218·226·229·235·239·241·242] ➔ >:-29 =:-53 <:-74)
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<:[5·31·52·62·75·84·117·137·140·141·156·161·169·170·172·174·179·192·206·212·214·215·218·224·234]⚖[10·15·28·34·41·43·45·56·57·67·68·70·73·77·85·111·125·148·151·165·171·187·188·209·231] ➔ >:-73 =:-50 <:-52)))
=:[3·7·8·9·14·16·26·36·44·49·52·59·61·62·65·66·72·76·77·80·81·83·84·85·87·89·95·96·99·102·106·109·111·112·114·115·119·123·124·126·129·133·137·140·141·142·143·144·149·152·155·157·158·161·165·170·182·184·187·192·199·202·204·208·209·210·213·216·217·220·222·223·224·225·226·227·228·233·239]⚖[2·4·5·6·11·13·15·17·21·22·23·27·31·33·34·35·45·48·51·56·63·64·67·68·69·70·78·79·82·86·91·92·94·97·98·100·108·113·120·121·125·128·131·134·139·147·154·156·159·160·163·167·168·169·172·174·176·181·183·185·194·195·196·203·205·211·215·218·219·221·230·231·232·234·235·236·240·241·242] ➔
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>:[6·17·20·23·36·45·51·54·58·77·89·90·101·110·112·117·126·129·131·133·173·178·183·187·205·218·222·224·233]⚖[1·11·13·18·22·30·32·38·43·44·78·79·80·94·96·111·122·125·128·150·156·158·160·170·193·201·216·231·239] ➔ >:-22 =:-48 <:-17)
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<:[17·19·26·37·41·49·52·63·70·90·98·109·113·117·128·130·131·136·137·140·152·156·164·166·174·184·189·190·199·200·207·212·222·225·233·239·240·241]⚖[6·8·11·24·28·31·32·42·46·56·60·61·66·73·79·80·82·86·97·99·114·149·150·153·154·162·165·180·192·194·197·214·221·227·229·231·234·242] ➔ >:-60 =:-75 <:-41))
<:[1·8·9·16·18·26·29·33·38·42·53·54·55·56·62·64·65·68·78·85·87·89·93·94·95·102·105·110·120·124·128·140·149·151·153·154·157·166·175·183·187·188·189·190·193·196·197·198·199·203·213·220·221·223·234·238·242]⚖[6·7·10·12·15·17·21·22·24·30·32·34·37·44·51·61·70·73·74·76·77·81·82·99·100·103·104·106·111·114·121·122·131·136·138·139·144·161·171·174·177·180·181·185·186·192·195·204·207·219·222·224·226·232·237·240·241] ➔
>:[9·11·15·24·27·28·33·35·37·40·44·50·55·56·60·62·77·82·92·96·99·101·106·116·129·150·152·155·157·160·162·167·177·181·183·185·190·195·203·208·217·223·226·235·237]⚖[1·2·3·7·14·22·26·30·47·59·67·69·71·73·74·80·83·97·100·105·113·117·119·123·127·128·130·131·143·144·165·171·175·178·189·205·206·218·222·224·225·233·238·239·241] ➔ >:-7 =:-61 <:-44)
=:[43·49·79·124·128·136·141·148·149·162·201·206·239]⚖[14·18·19·28·34·54·119·120·160·170·171·194·203] ➔ >:-14 =:-3 <:-49)
<:[11·18·21·26·61·75·82·84·98·120·132·157·181·205·213·217·221·222·233]⚖[14·16·69·71·93·100·125·141·143·150·154·158·176·186·191·208·210·212·229] ➔ >:-16 =:-65 <:-26)))
<:[1·2·3·15·16·18·19·25·26·30·31·32·33·34·40·41·42·43·45·48·54·60·74·75·77·88·89·96·97·98·101·105·107·114·115·116·120·123·125·126·128·134·139·147·160·171·174·175·177·180·182·185·187·189·190·192·197·199·200·201·203·209·218·221·224·228·229·232·233·240]⚖[4·11·13·20·21·24·28·36·37·39·49·51·56·57·61·62·65·68·70·78·79·80·82·85·91·93·95·102·110·112·118·119·122·124·129·136·137·145·148·150·154·159·164·166·167·168·170·172·179·181·183·184·188·191·194·196·204·207·208·211·212·213·215·220·223·226·234·237·241·242] ➔
>:[4·5·7·10·17·18·21·34·40·44·45·46·48·57·60·68·70·74·79·80·81·98·99·106·118·130·131·132·139·140·143·159·162·166·168·187·192·193·198·202·208·209·212·213·219·220·221·225·229·237·240]⚖[1·9·11·12·22·24·28·30·37·39·51·55·56·64·73·75·77·83·84·85·86·91·95·101·111·114·116·122·123·126·127·128·133·136·141·142·148·149·153·154·155·184·195·205·207·214·223·226·228·230·235] ➔
>:[26·40·46·51·83·84·85·87·127·136·139·163·180·199·202·221·227·234·242]⚖[11·27·28·43·44·49·72·75·111·117·123·143·144·155·189·190·208·209·210] ➔ >:-11 =:-56 <:-51)
=:[5·8·25·35·37·45·51·56·57·62·71·73·75·87·90·104·119·148·156·187·192·194·197·209·226·228]⚖[4·6·16·17·20·29·46·65·67·70·84·88·93·97·98·123·137·142·153·174·183·201·219·220·225·238] ➔ >:-20 =:-36 <:-62)
<:[2·10·23·34·36·38·41·44·46·50·53·63·76·78·80·85·91·95·101·106·107·113·118·133·134·136·137·140·147·155·159·165·188·192·199·200·202·204·205·224·232]⚖[8·12·13·15·20·25·35·39·40·56·57·62·65·74·79·83·84·92·98·109·111·121·123·125·128·138·142·143·146·167·172·185·194·196·211·216·218·219·229·231·237] ➔ >:-79 =:-4 <:-80))
=:[6·9·12·14·16·18·19·23·25·30·31·32·34·37·48·49·52·53·58·64·65·67·69·70·73·78·82·83·85·86·87·89·90·91·96·97·103·105·107·110·116·117·118·124·132·133·137·143·144·147·148·151·159·160·161·164·165·167·169·171·172·174·177·184·185·193·194·197·200·205·208·209·215·220·225·226·232·233·236·238·239]⚖[2·3·5·8·11·13·15·22·24·26·29·36·38·39·40·41·50·51·57·59·61·63·72·76·77·79·81·92·95·98·99·101·104·106·111·119·120·122·123·126·130·131·134·139·140·141·142·145·149·150·153·154·155·157·162·163·166·173·176·178·181·189·190·196·198·204·206·211·212·213·217·218·221·222·223·224·227·229·231·234·237] ➔
>:[8·47·54·79·105·141·150·172·193·201]⚖[5·6·59·63·117·137·159·160·177·180] ➔ >:-63 =:-72 <:-8)
=:[34·40·48·59·66·78·89·91·98·101·110·112·117·123·131·158·159·162·174·189·206·208·213·220·228·233·239·241]⚖[8·17·35·36·50·58·63·75·79·82·88·94·96·97·105·118·132·137·147·148·175·183·185·186·190·201·211·218] ➔ >:-35 =:-27 <:-66)
<:[1·7·12·32·34·41·44·75·95·96·99·120·132·139·144·149·189·196·204·225]⚖[23·58·71·84·90·106·118·124·126·143·155·156·166·177·178·195·207·213·229·234] ➔ >:-58 =:-9 <:-12))
<:[12·16·21·23·25·30·32·36·38·41·44·46·57·60·61·63·65·69·71·72·82·88·90·93·95·99·105·106·127·136·144·146·148·151·157·172·175·176·177·191·193·199·200·201·202·204·206·211·216·217·218·221·234·236]⚖[3·5·8·18·22·24·27·34·40·45·47·54·68·79·81·84·86·87·92·97·101·102·111·114·116·117·124·125·134·137·139·142·143·145·150·152·153·154·155·156·161·162·169·174·179·180·183·189·192·195·205·213·230·235] ➔
>:[36·41·54·64·67·125·148·179·185·231·235·239]⚖[14·19·22·40·98·116·127·161·164·177·193·203] ➔ >:-40 =:-45 <:-54)
=:[1·13·16·17·24·25·27·41·42·46·49·51·55·59·68·72·81·83·85·86·87·89·96·99·101·105·107·123·127·132·136·140·142·143·144·149·151·162·164·165·166·171·174·183·184·185·199·200·208·218·225·234·236·237]⚖[5·9·12·21·23·26·28·30·31·32·35·36·38·53·54·56·58·60·62·65·69·70·71·79·95·100·104·108·109·110·115·116·119·122·131·152·153·168·169·170·179·180·186·187·190·192·202·207·210·212·213·227·228·239] ➔ >:-31 =:-2 <:-1)
<:[25·54·57·74·82·102·104·110·131·132·161·193·202·207·210·212·224·241]⚖[1·3·5·19·29·32·60·72·76·103·116·123·126·155·169·200·209·216] ➔ >:-32 =:-30 <:-25)))))
{-3, +3} then you're done; you know ball 3 is the odd one.good_partitions function to be exhaustive (but not redundant, and still efficient)?